В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны...

Для начала, обозначим угол между прямой AB и плоскостью SBC как α. Так как SABCDEF - правильная шестиугольная пирамида, то угол между прямой AB и плоскостью SBC будет равен углу между боковым ребром SA и плоскостью SBC.

Рассмотрим треугольник SAB. Мы знаем, что сторона базы равна 1, а боковое ребро равно 2. Таким образом, мы можем найти длину высоты пирамиды, опущенной из вершины S на плоскость SBC с помощью теоремы Пифагора: h = √(2^2 - 1^2) = √3.

Теперь рассмотрим треугольник SBC. Мы видим, что он прямоугольный, поэтому можем найти синус угла α: sin(α) = h / AB = √3 / 2.

Таким образом, синус угла между прямой AB и плоскостью SBC равен √3 / 2.

Чертеж:

         C
        /|\
       / | \
      /  |  \
     /   |   \
    /    |    \
   /     |     \
  A------S------B
   \     |     /
    \    |    /
     \   |   /
      \  |  /
       \ | /
        \|/
         D

Чтобы найти синус угла между прямой ( AB ) и плоскостью ( SBC ) в правильной шестиугольной пирамиде ( SABCDEF ), где стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 2, выполним следующие шаги.

Шаг 1: Определите координаты точек.

1. Основание шестиугольника (равносторонний):

   • Центр шестиугольника ( O ) находится в начале координат.
   • Координаты вершин основания:
     • ( A(1, 0, 0) )
     • ( B\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) )
     • ( C\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) )
     • ( D(-1, 0, 0) )
     • ( E\left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) )
     • ( F\left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) )

2. Вершина пирамиды ( S ):

   • Так как боковые ребра равны 2, а все боковые грани равносторонние, вершина ( S ) имеет координаты ( (0, 0, z) ).

   Из условия равенства боковых рёбер: [ SA = SB = SC = 2 ] Подставим координаты точки ( A ): [ \sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2 + z^2} = 2 \implies 1 + z^2 = 4 \implies z^2 = 3 \implies z = \sqrt{3} ] Таким образом, координаты точки ( S ) равны ( (0, 0, \sqrt{3}) ).

Шаг 2: Определите векторное представление

1. Вектор ( \overrightarrow{AB} ): [ \overrightarrow{AB} = \left(\frac{1}{2} - 1, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0\right) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) ]

2. Найдем нормальный вектор плоскости ( SBC ):

   • Векторы (\overrightarrow{SB}) и (\overrightarrow{SC}): [ \overrightarrow{SB} = \left(\frac{1}{2} - 0, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - \sqrt{3}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -\sqrt{3}\right) ] [ \overrightarrow{SC} = \left(-\frac{1}{2} - 0, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - \sqrt{3}\right) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -\sqrt{3}\right) ]

   • Векторное произведение (\overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{SC}): [ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{SC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\sqrt{3} \ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\sqrt{3} \end{vmatrix} ]

   [ \overrightarrow{n} = \left(0, 0, \sqrt{3}\right) - \left(0, 0, -\sqrt{3}\right) = \left(0, 0, \sqrt{3}\right) ]

Шаг 3: Найдите косинус угла между вектором ( \overrightarrow{AB} ) и нормалью к плоскости

Косинус угла между вектором ( \overrightarrow{AB} ) и нормальным вектором (\overrightarrow{n}) плоскости ( SBC ) находится по формуле:

[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{n}|} ]

Где: [ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n} = -\frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0 + 0 \cdot \sqrt{3} = 0 ] [ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 1 ] [ |\overrightarrow{n}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{3} ] [ \cos \theta = \frac{0}{1 \cdot \sqrt{3}} = 0 ]

Поскольку (\cos \theta = 0), (\theta = 90^\circ), и, следовательно, синус этого угла равен единице: [ \sin \theta = 1 ]

Таким образом, синус угла между прямой ( AB ) и плоскостью ( SBC ) равен 1.

Чертеж

(К сожалению, в текстовом формате я не могу предоставить чертеж, но рекомендую использовать графические программы или чертёжные инструменты, чтобы визуализировать задачу.)