В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны...

Для начала, обозначим угол между прямой AB и плоскостью SBC как α. Так как SABCDEF - правильная шестиугольная пирамида, то угол между прямой AB и плоскостью SBC будет равен углу между боковым ребром SA и плоскостью SBC.

Рассмотрим треугольник SAB. Мы знаем, что сторона базы равна 1, а боковое ребро равно 2. Таким образом, мы можем найти длину высоты пирамиды, опущенной из вершины S на плоскость SBC с помощью теоремы Пифагора: h = √$2^2-1^2$ = √3.

Теперь рассмотрим треугольник SBC. Мы видим, что он прямоугольный, поэтому можем найти синус угла α: sin$\alpha$ = h / AB = √3 / 2.

Таким образом, синус угла между прямой AB и плоскостью SBC равен √3 / 2.

Чертеж:

         C
        /|\
       / | \
      /  |  \
     /   |   \
    /    |    \
   /     |     \
  A------S------B
   \     |     /
    \    |    /
     \   |   /
      \  |  /
       \ | /
        \|/
         D

Чтобы найти синус угла между прямой $AB$ и плоскостью $SBC$ в правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, где стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 2, выполним следующие шаги.

Шаг 1: Определите координаты точек.

1. Основание шестиугольника $равносторонний$:

   • Центр шестиугольника $O$ находится в начале координат.
   • Координаты вершин основания:
     • $A(1,0,0$ )
     • $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ )
     • $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ )
     • $D(-1,0,0$ )
     • $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ )
     • $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ )

2. Вершина пирамиды $S$:

   • Так как боковые ребра равны 2, а все боковые грани равносторонние, вершина $S$ имеет координаты $(0,0,z$ ).

   Из условия равенства боковых рёбер: $SA=SB=SC=2$ Подставим координаты точки $A$: $\sqrt{(1-0{)}^2+(0-0{)}^2+z^2}=2⟹1+z^2=4⟹z^2=3⟹z=\sqrt{3}$ Таким образом, координаты точки $S$ равны $(0,0,\sqrt{3}$ ).

Шаг 2: Определите векторное представление

1. Вектор $\overrightarrow{AB}$: $\overrightarrow{AB}=(\frac{1}{2}-1,\frac{\sqrt{3}}{2}-0,0-0)=(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0)$

2. Найдем нормальный вектор плоскости $SBC$:

   • Векторы $\overrightarrow{SB}$ и $\overrightarrow{SC}$: $\overrightarrow{SB}=(\frac{1}{2}-0,\frac{\sqrt{3}}{2}-0,0-\sqrt{3})=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},-\sqrt{3})$ $\overrightarrow{SC}=(-\frac{1}{2}-0,\frac{\sqrt{3}}{2}-0,0-\sqrt{3})=(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},-\sqrt{3})$

   • Векторное произведение $\overrightarrow{SB}\times \overrightarrow{SC}$: $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{SB}\times \overrightarrow{SC}=\left|\begin{array}{ccccccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\sqrt{3}-\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\sqrt{3}\end{array}\right|$

   $\overrightarrow{n}=(0,0,\sqrt{3})-(0,0,-\sqrt{3})=(0,0,\sqrt{3})$

Шаг 3: Найдите косинус угла между вектором $\overrightarrow{AB}$ и нормалью к плоскости

Косинус угла между вектором $\overrightarrow{AB}$ и нормальным вектором $\overrightarrow{n}$ плоскости $SBC$ находится по формуле:

$\cos \theta =\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{n}|}$

Где: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{n}=-\frac{1}{2}\cdot 0+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 0+0\cdot \sqrt{3}=0$ $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{{(-\frac{1}{2})}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+0^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=1$ $|\overrightarrow{n}|=\sqrt{0^2+0^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{3}$ $\cos \theta =\frac{0}{1\cdot \sqrt{3}}=0$

Поскольку $\cos \theta =0$, $\theta ={90}^{\circ }$, и, следовательно, синус этого угла равен единице: $\sin \theta =1$

Таким образом, синус угла между прямой $AB$ и плоскостью $SBC$ равен 1.

Чертеж

$Ксожалению,втекстовомформатеянемогупредоставитьчертеж,норекомендуюиспользоватьграфическиепрограммыиличертёжныеинструменты,чтобывизуализироватьзадачу.$