В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 8, двугранный угол при основании пирамиды равен 30.Найдите...

Для решения задачи найдем объем правильной четырехугольной пирамиды, используя данную информацию о высоте и двугранном угле при основании.

1. Понимание задачи:

   • У нас есть правильная четырехугольная пирамида, что означает, что в основании находится квадрат.
   • Двугранный угол при основании пирамиды равен 30°. Двугранный угол между боковой гранью и плоскостью основания пирамиды.

2. Определение ключевых переменных:

   • Высота пирамиды (h = 8).
   • Двугранный угол (\alpha = 30^\circ).
   • Обозначим сторону основания (квадрата) как (a), а апофему пирамиды как (l).

3. Связь апофемы и высоты:

   • Апофема (l) — это высота боковой грани, опущенная из вершины пирамиды на сторону основания.
   • Тангенс двугранного угла выражается через высоту пирамиды и апофему: [ \tan(\alpha) = \frac{h}{\frac{a}{2}} ]
   • Подставим значения: [ \tan(30^\circ) = \frac{8}{\frac{a}{2}} ]
   • Зная, что (\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}), получаем: [ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{16}{a} ]
   • Отсюда находим сторону основания: [ a = 16\sqrt{3} ]

4. Вычисление объема пирамиды:

   • Объем пирамиды (V) можно вычислить по формуле: [ V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h ]
   • Площадь основания (S{\text{осн}}) — это площадь квадрата: [ S{\text{осн}} = a^2 = (16\sqrt{3})^2 = 768 ]
   • Подставим значения в формулу для объема: [ V = \frac{1}{3} \times 768 \times 8 = \frac{1}{3} \times 6144 = 2048 ]

Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды равен (2048) кубических единиц.

Для нахождения объема правильной четырехугольной пирамиды с высотой 8 и двугранным углом при основании 30 градусов, можно воспользоваться формулой:

V = (1/3) S h

где V - объем пирамиды, S - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.

Для начала найдем площадь основания пирамиды. Поскольку у нас правильная четырехугольная пирамида, то основание - квадрат, и площадь основания можно найти как S = a^2, где a - сторона основания.

Для нахождения стороны основания пирамиды воспользуемся формулой для правильного четырехугольника:

a = h / tan(180 / n)

где n - количество сторон основания пирамиды (в данном случае 4), h - высота пирамиды.

Подставляем известные значения:

a = 8 / tan(180 / 4) a = 8 / tan(45) a = 8 / 1 a = 8

Теперь находим площадь основания:

S = a^2 S = 8^2 S = 64

И, наконец, находим объем пирамиды:

V = (1/3) S h V = (1/3) 64 8 V = (1/3) * 512 V = 170.67

Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды с высотой 8 и двугранным углом при основании 30 равен 170.67 единицам объема.