В прямоугольный треугольник вписана окружность радиусом 2 см так, что один из получившийся отрезков...

Пусть один катет прямоугольного треугольника равен x, а второй катет равен y. Тогда мы имеем два касательных отрезка, равных радиусу окружности (2 см) и 4 см соответственно. По теореме касательной к окружности, мы можем составить уравнение:

x + 2 = y y + 2 = x + 4

Отсюда получаем, что x = 6 и y = 8. Таким образом, стороны треугольника равны 6, 8 и 10 см. Проверим, что сумма сторон действительно равна 24 см:

6 + 8 + 10 = 24

Ответ: стороны треугольника равны 6, 8 и 10 см.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами вписанной окружности и свойствами прямоугольного треугольника.

1. Свойства вписанной окружности: В прямоугольном треугольнике радиус ( r ) вписанной окружности связан с катетами ( a ) и ( b ) и гипотенузой ( c ) следующим образом: [ r = \frac{a + b - c}{2} ] Поскольку ( r = 2 ) см, мы имеем: [ 2 = \frac{a + b - c}{2} ] Отсюда: [ a + b - c = 4 ]

2. Отношения между сторонами и касательными: Если ( t ) — длина отрезка касательной от точки касания до вершины (в данном случае одна из таких длин равна 4 см), то для прямоугольного треугольника: [ t_a = c - b, \quad t_b = c - a ] где ( t_a ) и ( t_b ) — длины отрезков касательных от точек касания до вершин, противолежащих катетам ( a ) и ( b ) соответственно.

   Поскольку один из отрезков равен 4 см, предположим, что это ( t_a ) (можно предположить и для ( t_b ), но выбор не влияет на конечный результат из-за симметрии): [ t_a = 4 = c - b ]

3. Периметр треугольника: По условию периметр ( P ) равен 24 см: [ P = a + b + c = 24 ]

4. Решение системы уравнений: Из ( a + b - c = 4 ) и ( c - b = 4 ), получаем: [ a + c = 24 \quad \text{(из уравнения периметра)} ] [ b = c - 4 ] [ a + (c - 4) - c = 4 \Rightarrow a - 4 = 4 \Rightarrow a = 8 ] [ a + b + c = 24 \Rightarrow 8 + b + c = 24 \Rightarrow b + c = 16 ] [ b = c - 4 \Rightarrow c - 4 + c = 16 \Rightarrow 2c = 20 \Rightarrow c = 10 ] [ b = 10 - 4 = 6 ]

Итак, катеты треугольника равны 8 см и 6 см, гипотенуза — 10 см.