В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 3°. Найдите больший угол данного треугольника. Ответ дайте в градусах
В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 3°. Найдите больший угол данного треугольника. Ответ дайте в градусах
Пусть больший угол прямоугольного треугольника равен x градусов. Так как угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 3°, то угол между высотой и медианой равен 90 - 3 = 87°. Также из свойств прямоугольного треугольника известно, что медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Таким образом, угол между медианой и высотой равен 90 - угол арктангенса (1/2) ≈ 63.43°. Из углового соотношения в треугольнике получаем: x + 87 + 63.43 = 180 x = 29.57° Ответ: больший угол данного треугольника равен 29.57°.
В данном случае у нас есть прямоугольный треугольник ( \triangle ABC ), где ( \angle C = 90^\circ ). Высота ( CD ) и медиана ( CM ) проведены из вершины ( C ). Известно, что угол между высотой и медианой ( \angle DCM = 3^\circ ).
Наша задача — найти больший из двух острых углов треугольника ( \triangle ABC ). Обозначим углы при вершинах ( A ) и ( B ) как ( \alpha ) и ( \beta ) соответственно. Так как ( \alpha + \beta = 90^\circ ), нам нужно найти большее значение из ( \alpha ) и ( \beta ).
Используем тот факт, что медиана ( CM ), проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Это свойство медианы в прямоугольном треугольнике. Таким образом, треугольник ( \triangle ACM ) равнобедренный с ( AC = CM ).
Поскольку треугольник ( \triangle ACM ) равнобедренный и ( \angle DCM = 3^\circ ), то углы ( \angle ACD ) и ( \angle MCD ) в этом треугольнике равны. Следовательно, ( \angle ACD = \angle MCD = 3^\circ ).
Теперь рассмотрим внешний угол ( \angle ACB ) треугольника ( \triangle ACM ). Он равен: [ \angle ACB = 90^\circ - \angle ACD = 90^\circ - 3^\circ = 87^\circ. ]
Поскольку ( \angle ACB ) является внешним углом, то он равен сумме углов ( \angle DAC ) и ( \angle ACD ), то есть: [ \angle CAB + \angle ACB = 90^\circ. ]
Таким образом, больший угол ( \angle ACB = 87^\circ ) — это угол при основании медианы в треугольнике ( \triangle ABC ). Мы нашли больший острый угол треугольника, который равен ( 87^\circ ).
Больший угол прямоугольного треугольника равен 87 градусов.
