В прямоугольном треугольнике с острым углом в 30 градусов большой катет равен 18 см. На какие отрезки...

Биссектриса большого острого угла треугольника делит большой катет на два отрезка, пропорциональных друг другу и суммирующихся с самим катетом.

Давайте обозначим длину одного из этих отрезков за х. Тогда второй отрезок будет равен 18 - х.

Поскольку биссектриса делит большой катет пропорционально его длине, мы можем записать пропорцию:

18 / х = (18 - х) / х

Упростим эту пропорцию:

18х = 18(18 - х)

Решив этое уравнение, мы найдем длины отрезков, на которые делится большой катет биссектриса большого острого угла треугольника.

В прямоугольном треугольнике с одним из углов, равным 30 градусам, противоположный этому углу катет равен половине гипотенузы. Давайте обозначим катеты треугольника как (a) и (b), где (a) — катет, прилежащий к углу в 30 градусов, а (b) — катет, противоположный углу в 30 градусов. Гипотенузу обозначим как (c).

Пусть угол (A) равен 30 градусам. Тогда угол (B) равен 60 градусам, а угол (C) — 90 градусов.

Известно, что (b = 18) см. Поскольку угол (A) равен 30 градусам, гипотенуза (c) равна двойному значению катета (b). То есть:

[ c = 2b = 2 \cdot 18 = 36 \text{ см} ]

Теперь найдем другой катет (a). Используя теорему Пифагора для треугольника ( \triangle ABC ):

[ a^2 + b^2 = c^2 ]

Подставим известные значения:

[ a^2 + 18^2 = 36^2 ]

Решим уравнение:

[ a^2 + 324 = 1296 ] [ a^2 = 1296 - 324 ] [ a^2 = 972 ] [ a = \sqrt{972} = 18\sqrt{3} \text{ см} ]

Теперь нам нужно найти, на какие отрезки делится катет (b = 18) см биссектрисой угла (B = 60) градусов. Биссектриса угла в треугольнике делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

В треугольнике ( \triangle ABC ), биссектриса (BD), проведенная к катету (AC), делит его на отрезки (AD) и (DC), такие что:

[ \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} = \frac{a}{b} = \frac{18\sqrt{3}}{18} = \sqrt{3} ]

Пусть (AD = x) и (DC = y). Тогда:

[ \frac{x}{y} = \sqrt{3} ] [ x = y \sqrt{3} ]

И (x + y = 18):

[ y \sqrt{3} + y = 18 ] [ y (\sqrt{3} + 1) = 18 ] [ y = \frac{18}{\sqrt{3} + 1} ]

Для удобства умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение (\sqrt{3} - 1):

[ y = \frac{18 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{18 (\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = 9 (\sqrt{3} - 1) \text{ см} ]

Теперь найдем (x):

[ x = y \sqrt{3} = 9 (\sqrt{3} - 1) \sqrt{3} = 9 (3 - \sqrt{3}) = 27 - 9\sqrt{3} \text{ см} ]

Таким образом, катет (AC) делится биссектрисой угла (B) на два отрезка: (AD) и (DC), длины которых равны:

[ AD = 27 - 9\sqrt{3} \text{ см} ] [ DC = 9 (\sqrt{3} - 1) \text{ см} ]