В прямоугольном треугольнике с острым углом 45 градусов гипотенуза равна 32 см. Найдите площадь этого треугольника.
В прямоугольном треугольнике с острым углом 45 градусов гипотенуза равна 32 см. Найдите площадь этого треугольника.
В прямоугольном треугольнике с острым углом 45 градусов можно сделать важное наблюдение: если один из острых углов равен 45 градусам, то второй острый угол также будет равен 45 градусам, так как сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусам, а один угол — прямой (90 градусов). Это делает треугольник равнобедренным.
В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны между собой. Пусть длина каждого катета равна ( x ). По теореме Пифагора, для нахождения длины гипотенузы ( c ), выполняется следующее соотношение:
[ c = \sqrt{x^2 + x^2} = \sqrt{2x^2} = x\sqrt{2} ]
В данном случае, гипотенуза равна 32 см. Таким образом, можно записать уравнение:
[ x\sqrt{2} = 32 ]
Решим это уравнение относительно ( x ):
[ x = \frac{32}{\sqrt{2}} ]
Упростим выражение, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на ( \sqrt{2} ):
[ x = \frac{32 \cdot \sqrt{2}}{2} = 16\sqrt{2} ]
Теперь, зная длины катетов, можем найти площадь треугольника. Площадь ( S ) прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:
[ S = \frac{1}{2} \cdot x \cdot x = \frac{1}{2} \cdot (16\sqrt{2}) \cdot (16\sqrt{2}) ]
Выполним вычисления:
[ S = \frac{1}{2} \cdot 256 \cdot 2 = \frac{1}{2} \cdot 512 = 256 ]
Таким образом, площадь данного треугольника равна 256 квадратных сантиметров.
Для решения данной задачи нам необходимо найти катеты прямоугольного треугольника с углом 45 градусов. Поскольку в прямоугольном треугольнике с углом 45 градусов катеты равны друг другу, то обозначим их оба за "х". Тогда по теореме Пифагора имеем: (x^2 + x^2 = 32^2), (2x^2 = 32^2), (x^2 = \frac{32^2}{2}), (x^2 = 512), (x = \sqrt{512}), (x = 16\sqrt{2}) см.
Теперь мы знаем длину катетов, поэтому можем найти площадь треугольника по формуле: (S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b), (S = \frac{1}{2} \cdot 16\sqrt{2} \cdot 16\sqrt{2}), (S = \frac{1}{2} \cdot 256 \cdot 2), (S = 256) см².
Таким образом, площадь прямоугольного треугольника с острым углом 45 градусов и гипотенузой 32 см равна 256 квадратным сантиметрам.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Так как у нас есть острый угол 45 градусов, то катеты равны друг другу. По теореме Пифагора находим длину катета: (a = \frac{c}{\sqrt{2}} = \frac{32}{\sqrt{2}} \approx 22.63). Теперь находим площадь треугольника: (S = \frac{1}{2} \cdot a^2 = \frac{1}{2} \cdot (22.63)^2 \approx 255.50) кв. см.
