В прямоугольном треугольнике проведена высота СН к гипотенузе.Найдите катет АС,если СН=4,ВН=3

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом в точке C, проведена высота CH к гипотенузе AB. Даны длины высоты CH = 4 и отрезка BH = 3. Необходимо найти длину катета AC.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и теоремой о высоте, проведенной к гипотенузе.

В любом прямоугольном треугольнике, если высота, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два меньших прямоугольных треугольника, то выполняется следующее соотношение:

[ CH^2 = AH \cdot BH ]

где AH и BH — отрезки, на которые высота делит гипотенузу AB. В нашем случае мы знаем, что высота CH равна 4, а отрезок BH равен 3. Обозначим отрезок AH как x. Тогда мы можем записать уравнение:

[ 4^2 = x \cdot 3 ]

Решим это уравнение:

[ 16 = 3x ]

Теперь выразим x:

[ x = \frac{16}{3} ]

Таким образом, отрезок AH равен (\frac{16}{3}).

Теперь найдем длину гипотенузы AB. Она равна сумме отрезков AH и BH:

[ AB = AH + BH = \frac{16}{3} + 3 = \frac{16}{3} + \frac{9}{3} = \frac{25}{3} ]

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины катета AC. В прямоугольном треугольнике ABC выполняется следующее соотношение:

[ AC^2 + BC^2 = AB^2 ]

Сначала найдем длину BC. Мы уже знаем, что:

[ BC^2 = BH \cdot AB ]

Теперь подставим значения:

[ BC^2 = 3 \cdot \frac{25}{3} = 25 ] [ BC = 5 ]

Теперь подставляем известные значения в теорему Пифагора:

[ AC^2 + 5^2 = \left(\frac{25}{3}\right)^2 ]

Решим уравнение:

[ AC^2 + 25 = \frac{625}{9} ]

Теперь выразим (AC^2):

[ AC^2 = \frac{625}{9} - 25 = \frac{625}{9} - \frac{225}{9} = \frac{400}{9} ]

Теперь найдем AC:

[ AC = \sqrt{\frac{400}{9}} = \frac{20}{3} ]

Таким образом, длина катета AC равна (\frac{20}{3}).

Для решения задачи используем свойства прямоугольного треугольника и высоты, проведенной к гипотенузе.

Дано:

1. Прямоугольный треугольник ( \triangle ABC ), где угол ( \angle C ) — прямой.
2. Высота ( CH ), опущенная из вершины ( C ) на гипотенузу ( AB ), равна ( CH = 4 ).
3. Один из отрезков, на которые высота делит гипотенузу, равен ( BH = 3 ).
4. Нужно найти катет ( AC ).

Решение:

1. Свойства высоты в прямоугольном треугольнике

Высота, проведенная к гипотенузе, обладает следующими свойствами:

• Она делит гипотенузу ( AB ) на два отрезка: ( AH ) и ( BH ), так что ( AB = AH + BH ).
• Связь между высотой ( CH ), отрезками ( AH ) и ( BH ) выражается через формулу: [ CH^2 = AH \cdot BH. ]

Подставим известные значения ( CH = 4 ) и ( BH = 3 ) в формулу: [ 4^2 = AH \cdot 3. ] [ 16 = 3 \cdot AH. ] [ AH = \frac{16}{3}. ]

Теперь мы знаем, что: [ AH = \frac{16}{3}, \quad BH = 3. ]

2. Выражение гипотенузы ( AB )

Гипотенуза ( AB ) равна сумме отрезков ( AH ) и ( BH ): [ AB = AH + BH = \frac{16}{3} + 3 = \frac{16}{3} + \frac{9}{3} = \frac{25}{3}. ]

3. Используем теорему о высоте

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, также связана с длинами катетов. Для катета ( AC ) справедлива формула: [ AC^2 = AB \cdot AH. ]

Подставим значения ( AB = \frac{25}{3} ) и ( AH = \frac{16}{3} ): [ AC^2 = \frac{25}{3} \cdot \frac{16}{3}. ] [ AC^2 = \frac{400}{9}. ]

Найдем ( AC ), извлекая квадратный корень: [ AC = \sqrt{\frac{400}{9}} = \frac{\sqrt{400}}{\sqrt{9}} = \frac{20}{3}. ]

Ответ:

Катет ( AC ) равен ( \frac{20}{3} ) или ( 6 \frac{2}{3} ) в смешанном виде.

В прямоугольном треугольнике, где проведена высота к гипотенузе, выполняется следующее соотношение:

[ CH^2 = AH \cdot BH ]

где ( CH ) — высота, ( AH ) и ( BH ) — отрезки гипотенузы.

По условию: ( CH = 4 ) и ( BH = 3 ).

Сначала найдем ( AH ):

[ 4^2 = AH \cdot 3 ] [ 16 = AH \cdot 3 ] [ AH = \frac{16}{3} ]

Теперь найдем длину катета ( AC ) (это отрезок гипотенузы, который равен ( AH + BH )):

[ AC = AH + BH = \frac{16}{3} + 3 = \frac{16}{3} + \frac{9}{3} = \frac{25}{3} ]

Таким образом, катет ( AC ) равен ( \frac{25}{3} ).