В прямоугольном треугольнике один из катетов равен b, а противолежащий угол равен β. а) Выразите другой...

а) а) Другой катет можно найти с помощью тригонометрических функций. Так как угол β противолежит катету b, то тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета к катету b. tg(β) = a/b a = b * tg(β)

Гипотенузу можно найти с помощью теоремы Пифагора: c = √(a^2 + b^2)

б) Подставим данные значения: a = 10 tg(50°) ≈ 10 1.192 = 11.92 см c = √(11.92^2 + 10^2) ≈ √(142.46 + 100) ≈ √242.46 ≈ 15.56 см

Таким образом, другой катет равен примерно 11.92 см, а гипотенуза равна примерно 15.56 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетом ( b ) и противолежащим углом ( \beta ). Нам нужно выразить другой катет, противолежащий ему угол, и гипотенузу через ( b ) и ( \beta ).

а) Выражение через ( b ) и ( \beta )

1. Другой катет (( a )):

   В прямоугольном треугольнике отношения между сторонами и углами дают возможность использовать тригонометрические функции. Катет ( b ) является противолежащим для угла ( \beta ). Следовательно, другой катет (( a )) можно найти, используя тангенс угла:

   [ \tan(\beta) = \frac{b}{a} ]

   Отсюда:

   [ a = \frac{b}{\tan(\beta)} ]

2. Гипотенуза (( c )):

   Гипотенузу можно выразить через катет ( b ) и угол ( \beta ) с помощью функции синуса:

   [ \sin(\beta) = \frac{b}{c} ]

   Отсюда:

   [ c = \frac{b}{\sin(\beta)} ]

3. Противолежащий угол (( \alpha )):

   В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна ( 90^\circ ). Следовательно, угол ( \alpha ), противолежащий катету ( a ), равен:

   [ \alpha = 90^\circ - \beta ]

б) Подсчет значений при ( b = 10 ) см и ( \beta = 50^\circ )

1. Другой катет (( a )):

   [ a = \frac{10}{\tan(50^\circ)} ]

   Рассчитаем значение:

   [ \tan(50^\circ) \approx 1.1918 ]

   [ a \approx \frac{10}{1.1918} \approx 8.39 \, \text{см} ]

2. Гипотенуза (( c )):

   [ c = \frac{10}{\sin(50^\circ)} ]

   Рассчитаем значение:

   [ \sin(50^\circ) \approx 0.7660 ]

   [ c \approx \frac{10}{0.7660} \approx 13.05 \, \text{см} ]

3. Противолежащий угол (( \alpha )):

   [ \alpha = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ ]

Таким образом, другой катет примерно равен ( 8.39 ) см, гипотенуза — ( 13.05 ) см, а противолежащий угол — ( 40^\circ ).