В прямоугольном треугольнике КLM, KM=LM= 24 √5 KK1 и LL1 - медианы. Найдите отрезки OK1 и OL1.

Давайте разберем задачу подробно и найти отрезки ( OK_1 ) и ( OL_1 ) в данном прямоугольном треугольнике.

Задача: Что дано?

1. ( \triangle KLM ) — прямоугольный треугольник с прямым углом в точке ( K ).
2. ( KM = 24 ) и ( LM = 24\sqrt{5} ).
3. ( KK_1 ) и ( LL_1 ) — медианы треугольника.
4. Нужно найти длины отрезков ( OK_1 ) и ( OL_1 ), где ( O ) — центр тяжести треугольника.

Шаг 1: Уточним координаты вершин треугольника

Для удобства расчетов расположим треугольник на координатной плоскости:

• Точку ( K ) возьмем в начале координат: ( K(0, 0) ).
• Точку ( M ) расположим на оси ( x ): ( M(24, 0) ).
• Точку ( L ) расположим на оси ( y ), поскольку ( LM ) перпендикулярен ( KM ): ( L(0, 24\sqrt{5}) ).

Шаг 2: Координаты середины сторон

Медианы ( KK_1 ) и ( LL_1 ) проходят через середины противоположных сторон треугольника.

1. Найдем середину стороны ( LM ) (точка ( K_1 )): [ K_1 = \left( \frac{x_L + x_M}{2}, \frac{y_L + y_M}{2} \right) = \left( \frac{0 + 24}{2}, \frac{24\sqrt{5} + 0}{2} \right) = (12, 12\sqrt{5}). ]

2. Найдем середину стороны ( KM ) (точка ( L_1 )): [ L_1 = \left( \frac{x_K + x_M}{2}, \frac{y_K + y_M}{2} \right) = \left( \frac{0 + 24}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = (12, 0). ]

Шаг 3: Координаты центра тяжести ( O )

Центр тяжести ( O ) треугольника находится как среднее арифметическое координат его вершин: [ O = \left( \frac{x_K + x_L + x_M}{3}, \frac{y_K + y_L + y_M}{3} \right). ] Подставим координаты: [ O = \left( \frac{0 + 0 + 24}{3}, \frac{0 + 24\sqrt{5} + 0}{3} \right) = (8, 8\sqrt{5}). ]

Шаг 4: Длины отрезков ( OK_1 ) и ( OL_1 )

Теперь найдем расстояния от точки ( O ) до точек ( K_1 ) и ( L_1 ) по формуле расстояния между двумя точками: [ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}. ]

Найдем длину ( OK_1 ):

Координаты ( O(8, 8\sqrt{5}) ) и ( K_1(12, 12\sqrt{5}) ): [ OK_1 = \sqrt{(12 - 8)^2 + (12\sqrt{5} - 8\sqrt{5})^2}. ] [ OK_1 = \sqrt{(4)^2 + (4\sqrt{5})^2} = \sqrt{16 + 80} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}. ]

Найдем длину ( OL_1 ):

Координаты ( O(8, 8\sqrt{5}) ) и ( L_1(12, 0) ): [ OL_1 = \sqrt{(12 - 8)^2 + (0 - 8\sqrt{5})^2}. ] [ OL_1 = \sqrt{(4)^2 + (-8\sqrt{5})^2} = \sqrt{16 + 320} = \sqrt{336} = 4\sqrt{21}. ]

Ответ:

[ OK_1 = 4\sqrt{6}, \quad OL_1 = 4\sqrt{21}. ]

Рассмотрим прямоугольный треугольник KLM, где ( KM = LM = 24 ). Поскольку это прямоугольный треугольник с равными катетами, можно сразу сказать, что ( KL ) — это гипотенуза.

Сначала найдем длину гипотенузы ( KL ) с помощью теоремы Пифагора:

[ KL = \sqrt{KM^2 + LM^2} = \sqrt{24^2 + 24^2} = \sqrt{576 + 576} = \sqrt{1152} = 24\sqrt{2}. ]

Теперь, чтобы найти медианы ( KK_1 ) и ( LL_1 ), вспомним, что медиана в прямоугольном треугольнике делит гипотенузу пополам. Найдем координаты точек K, L и M. Предположим, что ( K(0, 0) ), ( M(24, 0) ), ( L(0, 24) ).

Теперь находим координаты середины ( KL ):

[ O\left(\frac{0 + 24}{2}, \frac{0 + 24}{2}\right) = O(12, 12). ]

Теперь найдем точки ( K_1 ) и ( L_1 ), которые являются серединами отрезков ( ML ) и ( KM ) соответственно.

Координаты середины ( ML ):

[ M\left(\frac{24 + 0}{2}, \frac{0 + 24}{2}\right) = M(12, 12). ]

Координаты середины ( KM ):

[ K_1\left(\frac{0 + 24}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = K_1(12, 0). ]

Теперь мы можем найти длины отрезков ( OK_1 ) и ( OL_1 ).

1. Длина отрезка ( OK_1 ):

[ OK_1 = \sqrt{(12 - 12)^2 + (12 - 0)^2} = \sqrt{0 + 144} = 12. ]

1. Длина отрезка ( OL_1 ):

[ OL_1 = \sqrt{(12 - 0)^2 + (12 - 24)^2} = \sqrt{144 + 144} = \sqrt{288} = 12\sqrt{2}. ]

Таким образом, длины отрезков составляют:

[ OK_1 = 12, \quad OL_1 = 12\sqrt{2}. ]

В прямоугольном треугольнике КLM с KM = LM = 24, медианы KK1 и LL1 делят треугольник на два равных по площади.

Сначала найдем длину гипотенузы KL: [ KL = \sqrt{KM^2 + LM^2} = \sqrt{24^2 + 24^2} = \sqrt{576 + 576} = \sqrt{1152} = 24\sqrt{2}. ]

Длина медианы KK1 (от точки K до середины отрезка LM) рассчитывается по формуле: [ KK1 = \frac{1}{2} \sqrt{2KM^2 + 2KL^2 - LM^2} = \frac{1}{2} \sqrt{2(24^2) + 2(24\sqrt{2})^2 - 24^2} ] [ = \frac{1}{2} \sqrt{2(576) + 2(1152) - 576} = \frac{1}{2} \sqrt{1152 + 1152 - 576} = \frac{1}{2} \sqrt{1728} = \frac{1}{2} \cdot 24\sqrt{3} = 12\sqrt{3}. ]

Отрезок OK1 равен половине длины KK1, то есть: [ OK1 = \frac{KK1}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}. ]

Аналогично находим OL1. Так как KK1 и LL1 равны, то: [ OL1 = 6\sqrt{3}. ]

Ответ: ( OK1 = 6\sqrt{3}, \ OL1 = 6\sqrt{3}. )