В прямоугольном треугольнике катет равен 15 см а его проекция на гипотенузу 9 см. найдите гипотенузу...

Рассмотрим прямоугольный треугольник ( \triangle ABC ), где ( \angle C = 90^\circ ), ( AC = 15 ) см и проекция ( AC ) на гипотенузу ( AB ) равна 9 см. Обозначим гипотенузу ( AB ) как ( c ), другой катет ( BC ) как ( b ), и угол при вершине ( A ) как ( \alpha ).

Проекция катета ( AC ) на гипотенузу ( AB ) равна ( AC \cdot \cos(\alpha) ). То есть: [ 15 \cdot \cos(\alpha) = 9 ]

Отсюда найдем ( \cos(\alpha) ): [ \cos(\alpha) = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} ]

Теперь найдем ( \sin(\alpha) ) с использованием основного тригонометрического тождества: [ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 ] [ \sin^2(\alpha) + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 ] [ \sin^2(\alpha) + \frac{9}{25} = 1 ] [ \sin^2(\alpha) = 1 - \frac{9}{25} ] [ \sin^2(\alpha) = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} ] [ \sin^2(\alpha) = \frac{16}{25} ] [ \sin(\alpha) = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} ]

Теперь найдем гипотенузу ( c ). В прямоугольном треугольнике с катетами ( a ) и ( b ) и гипотенузой ( c ) справедлива теорема Пифагора: [ c = \frac{a}{\cos(\alpha)} ]

Подставим известные значения: [ c = \frac{15}{\frac{3}{5}} = 15 \cdot \frac{5}{3} = 25 ]

Таким образом, гипотенуза ( AB ) равна 25 см, ( \cos(\alpha) = \frac{3}{5} ), и ( \sin(\alpha) = \frac{4}{5} ).

Гипотенуза равна 17 см. Синус угла равен 9/17, косинус угла равен 15/17.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника: квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. По условию задачи у нас есть катет равный 15 см и его проекция на гипотенузу равна 9 см.

Пусть гипотенуза треугольника равна (c) см. Тогда по теореме Пифагора: [15^2 + 9^2 = c^2] [225 + 81 = c^2] [306 = c^2] [c = \sqrt{306} \approx 17.5\text{ см}]

Теперь найдем синус и косинус угла (\alpha) образованного катетом и гипотенузой. Синус угла (\alpha) равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: [\sin{\alpha} = \frac{15}{\sqrt{306}} \approx 0.86]

Косинус угла (\alpha) равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: [\cos{\alpha} = \frac{9}{\sqrt{306}} \approx 0.52]

Таким образом, гипотенуза треугольника равна примерно 17.5 см, синус угла равен примерно 0.86, а косинус угла равен примерно 0.52.