В прямоугольном треугольнике градусные меры наибольшего и наименьшего внешних углов относятся как 8:5.найдите...

Пусть наименьший внешний угол треугольника равен 5x, тогда наибольший внешний угол равен 8x. Внутренний угол прямоугольного треугольника равен 90 градусов. Сумма углов внешнего и внутреннего углов прилежащих к одному основанию равна 180 градусов. Из этого следует, что 5x + 90 = 180, откуда x = 18. Таким образом, острые углы треугольника равны 5x = 90 градусов и 8x = 144 градуса.

Для начала определим, что сумма мер внутреннего и внешнего углов, инцидентных одной стороне треугольника, равна 180 градусов. Пусть x - мера наименьшего внешнего угла, тогда мера наибольшего внешнего угла равна 8x. Следовательно, мера внутреннего угла треугольника, инцидентного наименьшему внешнему углу, равна 180 - x, а мера внутреннего угла, инцидентного наибольшему внешнему углу, равна 180 - 8x.

Теперь составим уравнение, используя сумму углов в треугольнике: x + (180 - x) + (180 - 8x) = 180 360 - 8x = 180 8x = 180 x = 22.5

Итак, наименьший внешний угол равен 22.5 градусов, а наибольший внешний угол равен 8*22.5 = 180 градусов. Острые углы треугольника равны: 90 - 22.5 = 67.5 градусов.

Итак, острые углы треугольника равны 67.5 градусов.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C. Острые углы этого треугольника обозначим как ∠A и ∠B. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов всегда равна 90°, то есть:

(\angle A + \angle B = 90^\circ).

Нам известно, что градусные меры наибольшего и наименьшего внешних углов треугольника относятся как 8:5. Внешний угол любого угла треугольника равен 180° минус этот угол. Следовательно, внешние углы при вершинах A и B будут равны:

Внешний угол при вершине A: (180^\circ - \angle A).

Внешний угол при вершине B: (180^\circ - \angle B).

Поскольку внешний угол при прямом угле (C) равен (180^\circ - 90^\circ = 90^\circ), и он не может быть наибольшим или наименьшим внешним углом, мы рассматриваем только внешние углы при вершинах A и B.

Допустим, что внешний угол при вершине A ((180^\circ - \angle A)) является наибольшим, а внешний угол при вершине B ((180^\circ - \angle B)) является наименьшим. Согласно условию:

(\frac{180^\circ - \angle A}{180^\circ - \angle B} = \frac{8}{5}).

Подставим (\angle B = 90^\circ - \angle A) в это уравнение:

(\frac{180^\circ - \angle A}{180^\circ - (90^\circ - \angle A)} = \frac{8}{5}).

Упростим выражение в знаменателе:

(\frac{180^\circ - \angle A}{90^\circ + \angle A} = \frac{8}{5}).

Перемножим крест-накрест для решения уравнения:

5(180^\circ - \angle A) = 8(90^\circ + \angle A).

Раскроем скобки:

900^\circ - 5\angle A = 720^\circ + 8\angle A.

Перенесем все члены с углом в одну сторону, а числа – в другую:

900^\circ - 720^\circ = 8\angle A + 5\angle A.

180^\circ = 13\angle A.

Найдем (\angle A):

(\angle A = \frac{180^\circ}{13} \approx 13.85^\circ).

Теперь найдем (\angle B):

(\angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - \frac{180^\circ}{13} \approx 76.15^\circ).

Таким образом, острые углы треугольника приблизительно равны:

(\angle A \approx 13.85^\circ), (\angle B \approx 76.15^\circ).