В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 51 см, а тангенс одного из углов 8/15( дробь) .Найдите...

Для решения данной задачи нам нужно воспользоваться определением тангенса как отношения противолежащего катета к прилежащему катету. Так как тангенс угла равен 8/15, то мы можем записать уравнение: tg(угол) = противолежащий катет / прилежащий катет. После подстановки известных значений и упрощения уравнения, мы можем найти сначала прилежащий катет, а затем и противолежащий катет, используя теорему Пифагора.

Итак, найдем прилежащий катет: tg(угол) = противолежащий катет / прилежащий катет 8/15 = x / прилежащий катет 15x = 8 прилежащий катет x = 8 15 / 15 x = 8

Теперь найдем противолежащий катет, используя теорему Пифагора: a^2 + b^2 = c^2, где a и b - катеты, c - гипотенуза 8^2 + b^2 = 51^2 64 + b^2 = 2601 b^2 = 2601 - 64 b^2 = 2537 b = √2537 b ≈ 50.37

Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны 8 см и 50.37 см.

Конечно, давайте разберем задачу по шагам.

1. Обозначения и начальные данные:

   • Пусть треугольник ( ABC ) с прямым углом ( C ).
   • Гипотенуза ( AB ) равна 51 см.
   • Тангенс одного из острых углов ( \angle A ) равен ( \frac{8}{15} ).

2. Определение тангенса:

   • Тангенс угла ( \angle A ) в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему. Пусть ( BC ) — противолежащий катет, а ( AC ) — прилежащий катет.
   • Тогда ( \tan(A) = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{15} ).

3. Выражение катетов через переменную:

   • Пусть ( AC = 15k ) и ( BC = 8k ), где ( k ) — некоторое положительное число. Это выражение согласуется с данным тангенсом ( \frac{8}{15} ).

4. Использование теоремы Пифагора:

   • По теореме Пифагора для треугольника ( ABC ): [ AB^2 = AC^2 + BC^2 ]
   • Подставим наши обозначения: [ 51^2 = (15k)^2 + (8k)^2 ]
   • Вычислим: [ 2601 = 225k^2 + 64k^2 ] [ 2601 = 289k^2 ]
   • Решим уравнение для ( k ): [ k^2 = \frac{2601}{289} ] [ k^2 = 9 ] [ k = 3 ]

5. Определение катетов:

   • Теперь подставим значение ( k ) в выражения для ( AC ) и ( BC ): [ AC = 15k = 15 \cdot 3 = 45 \, \text{см} ] [ BC = 8k = 8 \cdot 3 = 24 \, \text{см} ]

Таким образом, мы нашли длины катетов:

• ( AC = 45 \, \text{см} )
• ( BC = 24 \, \text{см} )

Это решение полностью соответствует условиям задачи. Удачи на экзамене!

Для решения данной задачи можно воспользоваться формулами тригонометрии. Пусть угол, тангенс которого равен 8/15, обозначен как α. Тогда тангенс α = противолежащий катет / прилежащий катет. Подставляем известные значения: 8/15 = противолежащий катет / прилежащий катет. Затем, используя теорему Пифагора, находим катеты.