В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 51 см, а тангенс одного из углов 8/15$дробь$ .Найдите...

Для решения данной задачи нам нужно воспользоваться определением тангенса как отношения противолежащего катета к прилежащему катету. Так как тангенс угла равен 8/15, то мы можем записать уравнение: tg$угол$ = противолежащий катет / прилежащий катет. После подстановки известных значений и упрощения уравнения, мы можем найти сначала прилежащий катет, а затем и противолежащий катет, используя теорему Пифагора.

Итак, найдем прилежащий катет: tg$угол$ = противолежащий катет / прилежащий катет 8/15 = x / прилежащий катет 15x = 8 прилежащий катет x = 8 15 / 15 x = 8

Теперь найдем противолежащий катет, используя теорему Пифагора: a^2 + b^2 = c^2, где a и b - катеты, c - гипотенуза 8^2 + b^2 = 51^2 64 + b^2 = 2601 b^2 = 2601 - 64 b^2 = 2537 b = √2537 b ≈ 50.37

Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны 8 см и 50.37 см.

Конечно, давайте разберем задачу по шагам.

1. Обозначения и начальные данные:

   • Пусть треугольник $ABC$ с прямым углом $C$.
   • Гипотенуза $AB$ равна 51 см.
   • Тангенс одного из острых углов $\mathrm{\angle }A$ равен $\frac{8}{15}$.

2. Определение тангенса:

   • Тангенс угла $\mathrm{\angle }A$ в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему. Пусть $BC$ — противолежащий катет, а $AC$ — прилежащий катет.
   • Тогда $\tan (A$ = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{15} ).

3. Выражение катетов через переменную:

   • Пусть $AC=15k$ и $BC=8k$, где $k$ — некоторое положительное число. Это выражение согласуется с данным тангенсом $\frac{8}{15}$.

4. Использование теоремы Пифагора:

   • По теореме Пифагора для треугольника $ABC$: $A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2$
   • Подставим наши обозначения: ${51}^2=(15k{)}^2+(8k{)}^2$
   • Вычислим: $2601=225k^2+64k^2$ $2601=289k^2$
   • Решим уравнение для $k$: $k^2=\frac{2601}{289}$ $k^2=9$ $k=3$

5. Определение катетов:

   • Теперь подставим значение $k$ в выражения для $AC$ и $BC$: $AC=15k=15\cdot 3=45\text{см}$ $BC=8k=8\cdot 3=24\text{см}$

Таким образом, мы нашли длины катетов:

• $AC=45\text{см}$
• $BC=24\text{см}$

Это решение полностью соответствует условиям задачи. Удачи на экзамене!

Для решения данной задачи можно воспользоваться формулами тригонометрии. Пусть угол, тангенс которого равен 8/15, обозначен как α. Тогда тангенс α = противолежащий катет / прилежащий катет. Подставляем известные значения: 8/15 = противолежащий катет / прилежащий катет. Затем, используя теорему Пифагора, находим катеты.