В прямоугольном треугольнике гипотенуза относится к катету ка 5:3. Найдите периметр треугольника, если...

Чтобы найти периметр прямоугольного треугольника, нам нужно определить длины всех его сторон. У нас есть следующая информация:

1. Отношение гипотенузы ( c ) к одному из катетов (пусть это будет ( a )) равно ( 5:3 ). Это можно записать как: [ \frac{c}{a} = \frac{5}{3} \quad \Rightarrow \quad c = \frac{5}{3}a ]

2. Длина второго катета ( b = 12 ).

Так как это прямоугольный треугольник, мы можем использовать теорему Пифагора: [ a^2 + b^2 = c^2 ]

Подставим известные значения и выражение для ( c ) в уравнение: [ a^2 + 12^2 = \left(\frac{5}{3}a\right)^2 ]

Раскроем скобки и упростим: [ a^2 + 144 = \frac{25}{9}a^2 ]

Умножим все уравнение на 9, чтобы избавиться от дроби: [ 9a^2 + 1296 = 25a^2 ]

Переносим все члены с ( a^2 ) в одну сторону: [ 1296 = 25a^2 - 9a^2 ]

[ 1296 = 16a^2 ]

Теперь решим полученное уравнение для ( a^2 ): [ a^2 = \frac{1296}{16} = 81 ]

[ a = \sqrt{81} = 9 ]

Теперь, когда мы знаем, что ( a = 9 ), найдем гипотенузу ( c ): [ c = \frac{5}{3}a = \frac{5}{3} \times 9 = 15 ]

Теперь у нас есть все стороны треугольника:

• ( a = 9 )
• ( b = 12 )
• ( c = 15 )

Периметр треугольника ( P ) равен сумме всех его сторон: [ P = a + b + c = 9 + 12 + 15 = 36 ]

Таким образом, периметр треугольника равен 36.

Для начала найдем длину гипотенузы. По условию задачи, гипотенуза относится к катету как 5:3, то есть длина гипотенузы будет равна 5x, а длина катета, соответственно, 3x. Так как один катет равен 12, то получаем уравнение:

3x = 12 x = 4

Теперь можем найти длину гипотенузы:

5x = 5 * 4 = 20

Длина гипотенузы равна 20.

Теперь можем найти длину второго катета, который равен 12.

Периметр прямоугольного треугольника равен сумме длин всех его сторон. Следовательно, периметр треугольника равен:

12 + 20 + 12 = 44

Ответ: Периметр треугольника равен 44.