В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной...

Площадь треугольника равна 12.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами биссектрисы и теоремой о площади треугольника.

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник (ABC) с прямым углом в (C). Пусть биссектриса угла (A) делит противоположный катет (BC) на два отрезка: (BD = 4) и (DC = 5).

По свойству биссектрисы в треугольнике, она делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. То есть:

[ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} ]

Подставляя известные значения, получаем:

[ \frac{AB}{AC} = \frac{4}{5} ]

Обозначим (AB = 4k) и (AC = 5k), где (k) — некоторое положительное число.

Теперь найдем длину гипотенузы (BC) треугольника. Так как (BD + DC = BC), то:

[ BC = 4 + 5 = 9 ]

В прямоугольном треугольнике выполняется теорема Пифагора:

[ AB^2 + AC^2 = BC^2 ]

Подставим найденные выражения для (AB) и (AC):

[ (4k)^2 + (5k)^2 = 9^2 ]

[ 16k^2 + 25k^2 = 81 ]

[ 41k^2 = 81 ]

[ k^2 = \frac{81}{41} ]

[ k = \sqrt{\frac{81}{41}} ]

Теперь найдем площадь треугольника (ABC). Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

[ S = \frac{1}{2} \times AB \times AC ]

Подставим выражения для (AB) и (AC):

[ S = \frac{1}{2} \times 4k \times 5k ]

[ S = 10k^2 ]

Теперь подставим значение (k^2):

[ S = 10 \times \frac{81}{41} ]

[ S = \frac{810}{41} ]

Таким образом, площадь треугольника равна (\frac{810}{41}) квадратных единиц.

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойства биссектрисы прямоугольного треугольника. Биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки, пропорциональные прилежащим катетам.

Пусть катеты треугольника равны a и b, а гипотенуза равна c. Тогда по свойству биссектрисы имеем:

a/4 = b/5

Отсюда находим, что a = 4b/5. Теперь можем воспользоваться теоремой Пифагора:

(4b/5)^2 + b^2 = c^2

Решив это уравнение, находим гипотенузу c. Далее, для нахождения площади треугольника можем воспользоваться формулой:

S = (a * b) / 2

Подставляем найденные значения катетов a и b и находим площадь треугольника.