В прямоугольном треугольнике ABC угол C=90градусов, АС= 6 см,АВ=9 см, CD -высота. Найдите BD
В прямоугольном треугольнике ABC угол C=90градусов, АС= 6 см,АВ=9 см, CD -высота. Найдите BD
Для нахождения BD воспользуемся теоремой Пифагора. По условию, AC = 6 см и AB = 9 см, значит, BC = √(AB² - AC²) = √(9² - 6²) = √(81 - 36) = √45 = 3√5 см. Так как CD - высота, то BC CD = AC BD. Подставляем известные значения: 3√5 CD = 6 BD => CD = 2 * BD. Таким образом, BD = CD / 2 = 3√5 / 2 = (3/2)√5 см.
Для решения задачи о прямоугольном треугольнике ABC с углом C = 90 градусов, где AC = 6 см, AB = 9 см и CD — высота, необходимо применить свойства прямоугольного треугольника и теорему Пифагора.
Найдем длину стороны BC (катета):
Используя теорему Пифагора для треугольника ABC: [ AB^2 = AC^2 + BC^2 ] Подставим известные значения: [ 9^2 = 6^2 + BC^2 ] [ 81 = 36 + BC^2 ] [ BC^2 = 81 - 36 = 45 ] [ BC = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \text{ см} ]
Используем свойства высоты в прямоугольном треугольнике:
Высота CD делит треугольник ABC на два прямоугольных треугольника — ACD и BCD. В таких треугольниках высота является средним геометрическим отрезков, на которые она делит гипотенузу: [ CD^2 = AD \cdot DB ]
Также известно, что: [ AD + DB = AB = 9 \text{ см} ]
Найдем CD:
Высота CD в прямоугольном треугольнике также может быть найдена через площади: [ CD = \frac{AC \cdot BC}{AB} ] Подставим известные значения: [ CD = \frac{6 \cdot 3\sqrt{5}}{9} = 2\sqrt{5} \text{ см} ]
Найдем BD:
Подставим значение CD в уравнение: [ (2\sqrt{5})^2 = AD \cdot DB ] [ 4 \cdot 5 = AD \cdot DB ] [ 20 = AD \cdot DB ]
Так как ( AD + DB = 9 ), выразим AD: [ AD = 9 - DB ]
Подставим в уравнение: [ 20 = (9 - DB) \cdot DB ] [ 20 = 9DB - DB^2 ] [ DB^2 - 9DB + 20 = 0 ]
Решим квадратное уравнение: [ DB = \frac{9 \pm \sqrt{9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1} ] [ DB = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2} ] [ DB = \frac{9 \pm 1}{2} ]
Два корня: [ DB = \frac{10}{2} = 5 \text{ см} ] [ DB = \frac{8}{2} = 4 \text{ см} ]
Поскольку ( AD + DB = 9 ), то возможные длины отрезков AD и DB — 4 см и 5 см соответственно.
Таким образом, длина BD равна 5 см.
Для нахождения длины отрезка BD воспользуемся теоремой Пифагора. По условию известно, что AC = 6 см, AB = 9 см и угол C = 90 градусов. Так как треугольник ABC прямоугольный, то применим теорему Пифагора: AC^2 + BC^2 = AB^2. Подставляем известные значения: 6^2 + BC^2 = 9^2. Получаем уравнение 36 + BC^2 = 81. Выразим BC^2: BC^2 = 81 - 36 = 45. Следовательно, BC = √45 = 3√5. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BCD, где CD - высота. По определению, BD - гипотенуза и BC - катет. Применим теорему Пифагора к треугольнику BCD: BC^2 + CD^2 = BD^2. Подставляем значения: (3√5)^2 + CD^2 = BD^2. Упрощаем: 45 + CD^2 = BD^2. Так как угол C = 90 градусов, то треугольник BCD также является прямоугольным. Получаем уравнение 45 + CD^2 = 9^2. Решаем его: CD^2 = 81 - 45 = 36. Получаем CD = √36 = 6. Таким образом, высота треугольника BCD равна 6 см.
