В прямоугольном треугольнике :1)катет лежащий против угла равного 45 градусов вдвое меньше гипотенузы...

Давайте подробно рассмотрим каждое из утверждений.

1) Катет, лежащий против угла, равного 45 градусов, вдвое меньше гипотенузы.

В прямоугольном треугольнике, если один из острых углов равен 45 градусов, то другой острый угол также равен 45 градусов, так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов. Таким образом, это треугольник с равными катетами, то есть равнобедренный прямоугольный треугольник.

В таком треугольнике гипотенуза равна (a\sqrt{2}), где (a) — длина катета. Следовательно, катет не может быть вдвое меньше гипотенузы. Это утверждение неверно.

2) Острые углы равны.

Если оба острых угла в прямоугольном треугольнике равны, то каждый из них равен 45 градусов. Такой треугольник, как уже было сказано, является равнобедренным прямоугольным треугольником. В этом треугольнике катеты равны, а гипотенуза равна (a\sqrt{2}).

3) Если катет равен половине гипотенузы, то против него лежит угол, равный половине прямого угла.

Если катет в прямоугольном треугольнике равен половине гипотенузы, то это является характерным признаком треугольника, в котором угол напротив этого катета равен 30 градусов. Таким образом, угол, противостоящий катету, равен 30 градусов, что соответствует половине прямого угла (45 градусов). Это утверждение неверно. Вернее было бы сказать, что угол равен 30 градусам.

4) Катет, лежащий против угла, равного 30 градусов, равен половине гипотенузы.

Это утверждение верно и является свойством прямоугольного треугольника с углом 30 градусов. В таком треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, действительно равен половине гипотенузы. Это связано с тем, что такой треугольник является половиной равностороннего треугольника, где стороны соотносятся как (1 : \sqrt{3} : 2).

Таким образом, из всех утверждений только утверждение 4 является истинным.

Дано: 1) Пусть гипотенуза равна ( c ), тогда катет равен ( \frac{c}{2} ). 2) Острые углы равны, то есть ( \angle A = \angle B ). 3) Пусть угол равный половине прямого угла равен ( \alpha ), тогда угол против катета равного половине гипотенузы равен ( 90^\circ - \alpha ). 4) Пусть катет равный половине гипотенузы равен ( \frac{c}{2} ), тогда катет против угла равного 30 градусов равен ( \frac{c}{4} ).

Решение: Из условия задачи видим, что у нас прямоугольный треугольник, поэтому угол C равен 90 градусов. Из условия 2) видим, что у нас равнобедренный треугольник, поэтому углы A и B равны по ( \frac{180^\circ - 90^\circ}{2} = 45^\circ ). Из условия 4) получаем, что катет против угла равного 30 градусов равен ( \frac{c}{4} ), а значит катет равный половине гипотенузы равен ( \frac{c}{2} = \frac{c}{4} \cdot \sqrt{3} ). Отсюда получаем, что гипотенуза равна ( c = 2\sqrt{3} \cdot \frac{c}{4} = \sqrt{3} \cdot c ).

Итак, длины сторон треугольника равны: Катет, лежащий против угла 45 градусов: ( \frac{c}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot c ). Катет, лежащий против угла 30 градусов: ( \frac{c}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot c ). Гипотенуза: ( c = \sqrt{3} \cdot c ).

Таким образом, мы нашли длины сторон прямоугольного треугольника, удовлетворяющего условиям задачи.