В прямоугольном треугольник катет равен b, а противолежащий ему угол β. выразите периметр треугольника...

Для нахождения периметра прямоугольного треугольника, в котором один из катетов равен ( b ), а противолежащий ему угол обозначен как ( \beta ), нам необходимо найти все три стороны треугольника.

Обозначим:

• ( a ) — другой катет,
• ( c ) — гипотенуза.

Учитывая, что ( \beta ) — это угол, противолежащий катету ( b ), и зная, что сумма углов в прямоугольном треугольнике равна ( 90^\circ ) (поскольку один угол прямой), можно использовать тригонометрические функции для нахождения других сторон.

1. Нахождение катета ( a ): [ a = b \cdot \cot(\beta) ] Это следует из определения котангенса как отношения прилежащего катета к противолежащему: [ \cot(\beta) = \frac{a}{b} \implies a = b \cdot \cot(\beta) ]

2. Нахождение гипотенузы ( c ): [ c = \frac{b}{\sin(\beta)} ] Это следует из определения синуса как отношения противолежащего катета к гипотенузе: [ \sin(\beta) = \frac{b}{c} \implies c = \frac{b}{\sin(\beta)} ]

Теперь, зная все три стороны треугольника (( b ), ( a ), и ( c )), можно выразить периметр ( P ) треугольника.

Периметр прямоугольного треугольника равен сумме всех его сторон: [ P = a + b + c ]

Подставляя найденные значения для ( a ) и ( c ): [ P = b \cdot \cot(\beta) + b + \frac{b}{\sin(\beta)} ]

Приведем это выражение к общему виду: [ P = b \left( \cot(\beta) + 1 + \frac{1}{\sin(\beta)} \right) ]

Таким образом, периметр прямоугольного треугольника через катет ( b ) и угол ( \beta ) выражается следующим образом: [ P = b \left( \cot(\beta) + 1 + \frac{1}{\sin(\beta)} \right) ]

Периметр прямоугольного треугольника равен сумме длин всех его сторон. В данном случае у нас есть два катета и гипотенуза. Катеты обозначим как b, а гипотенузу как c. Также у нас есть угол β, который является противолежащим катету b.

Используя геометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, мы можем записать:

sin(β) = b / c c = b / sin(β)

Теперь можем найти периметр треугольника:

Периметр = b + b + b / sin(β) = 2b + b / sin(β)

Периметр прямоугольного треугольника равен b + b sin(β) + b cos(β).