В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ребра AB,AD,AA1 равны a,2a,3a.Найдите угол между прямыми...

Для нахождения угла между прямыми BD и AB1 в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 нам необходимо воспользоваться свойством перпендикулярности прямых в прямоугольном параллелепипеде.

Известно, что в прямоугольном параллелепипеде противоположные грани параллельны и перпендикулярны друг другу. Таким образом, ребра AB и CD, AD и BC, AA1 и B1C1 являются противоположными гранями и перпендикулярны друг другу.

Из данного нам условия известно, что ребра AB, AD и AA1 равны a, 2a и 3a соответственно. Так как ребра AB и AD образуют прямой угол, то угол между прямыми BD и AB1 будет равен тому же углу, что и между ребрами AB и AD.

Итак, угол между прямыми BD и AB1 в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 будет равен углу между ребрами AB и AD, то есть углу α, где tg(α) = 2a / a = 2. Поэтому угол α = arctg(2).

Чтобы найти угол между прямыми ( BD ) и ( AB_1 ) в прямоугольном параллелепипеде ( ABCDA_1B_1C_1D_1 ), где ребра ( AB = a ), ( AD = 2a ), ( AA_1 = 3a ), сначала выразим векторы, соответствующие этим прямым.

1. Определим координаты точек:

   • ( A = (0, 0, 0) )
   • ( B = (a, 0, 0) )
   • ( D = (0, 2a, 0) )
   • ( B_1 = (a, 0, 3a) )

2. Вектор ( \overrightarrow{BD} ): [ \overrightarrow{BD} = D - B = (0, 2a, 0) - (a, 0, 0) = (-a, 2a, 0) ]

3. Вектор ( \overrightarrow{AB_1} ): [ \overrightarrow{AB_1} = B_1 - A = (a, 0, 3a) - (0, 0, 0) = (a, 0, 3a) ]

4. Найдем скалярное произведение векторов ( \overrightarrow{BD} ) и ( \overrightarrow{AB_1} ): [ \overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{AB_1} = (-a, 2a, 0) \cdot (a, 0, 3a) = -a \cdot a + 2a \cdot 0 + 0 \cdot 3a = -a^2 ]

5. Найдем длины векторов ( \overrightarrow{BD} ) и ( \overrightarrow{AB_1} ): [ |\overrightarrow{BD}| = \sqrt{(-a)^2 + (2a)^2 + 0^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5} ]

   [ |\overrightarrow{AB_1}| = \sqrt{(a)^2 + 0^2 + (3a)^2} = \sqrt{a^2 + 9a^2} = \sqrt{10a^2} = a\sqrt{10} ]

6. Найдем косинус угла между векторами: [ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{AB_1}}{|\overrightarrow{BD}| \cdot |\overrightarrow{AB_1}|} = \frac{-a^2}{a\sqrt{5} \cdot a\sqrt{10}} = \frac{-1}{\sqrt{50}} = -\frac{1}{5\sqrt{2}} ]

7. Найдем угол ( \theta ): [ \theta = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{5\sqrt{2}}\right) ]

Таким образом, угол между прямыми ( BD ) и ( AB_1 ) равен ( \cos^{-1}\left(-\frac{1}{5\sqrt{2}}\right) ).

Для нахождения угла между прямыми BD и AB1 в прямоугольном параллелепипеде необходимо воспользоваться теоремой косинусов. Угол можно найти по формуле: cos(угол) = (BD^2 + AB1^2 - BDAB1) / (2 BD AB1), где BD = sqrt(a^2 + 2a^2) = sqrt(5a^2), AB1 = sqrt(2a^2 + 3a^2) = sqrt(5a^2). Подставив значения, получим: cos(угол) = (5a^2 + 5a^2 - 5a^2) / (2 5a^2) = 5/10 = 1/2. Следовательно, угол между прямыми BD и AB1 равен 60 градусов.