В прямоугольном параллелепипеде abcda1b1c1d1 ab=bc=1/ 2aa1. найдите угол между прямыми а) BD и CD б)...

а) Угол между прямыми BD и CD в прямоугольном параллелепипеде равен 90 градусов. б) Угол между прямыми AC и AC1 в прямоугольном параллелепипеде равен 90 градусов.

а) Угол между прямыми BD и CD в прямоугольном параллелепипеде равен 90 градусов. Это связано с тем, что BD и CD являются диагоналями грани параллелепипеда, которая представляет собой прямоугольник. Следовательно, угол между диагоналями прямоугольника равен 90 градусов.

б) Угол между прямыми AC и A1C1 также равен 90 градусов. Это связано с тем, что AC и A1C1 являются диагоналями основания параллелепипеда, которое также является прямоугольником. Следовательно, угол между диагоналями прямоугольника равен 90 градусов.

В прямоугольном параллелепипеде ( ABCDA_1B_1C_1D_1 ) даны следующие условия: ( AB = BC = \frac{1}{2}AA_1 ).

Для начала, обозначим длины ребер параллелепипеда:

• ( AB = a ),
• ( BC = b ),
• ( AA_1 = c ).

Согласно условию, ( a = b ) и ( a = b = \frac{1}{2}c ).

Теперь разберем каждый пункт отдельно.

а) Угол между прямыми ( BD ) и ( CD )

Для нахождения угла между прямыми ( BD ) и ( CD ), рассмотрим их координаты. Возьмем точку ( A ) в начале координат ( (0, 0, 0) ). Соответственно, координаты остальных точек будут:

• ( B (a, 0, 0) ),
• ( C (a, b, 0) ),
• ( D (0, b, 0) ).

Прямые ( BD ) и ( CD ) можно представить векторно:

• Вектор ( \overrightarrow{BD} = D - B = (0, b, 0) - (a, 0, 0) = (-a, b, 0) ),
• Вектор ( \overrightarrow{CD} = D - C = (0, b, 0) - (a, b, 0) = (-a, 0, 0) ).

Теперь найдем скалярное произведение ( \overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{CD} ): [ \overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{CD} = (-a, b, 0) \cdot (-a, 0, 0) = a^2. ]

Далее, найдем длины векторов ( \overrightarrow{BD} ) и ( \overrightarrow{CD} ): [ |\overrightarrow{BD}| = \sqrt{(-a)^2 + b^2} = \sqrt{a^2 + b^2}, ] [ |\overrightarrow{CD}| = \sqrt{(-a)^2} = a. ]

Так как ( a = b ), то: [ |\overrightarrow{BD}| = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}. ]

Теперь можно найти косинус угла между векторами ( \overrightarrow{BD} ) и ( \overrightarrow{CD} ): [ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{BD}| |\overrightarrow{CD}|} = \frac{a^2}{a \cdot a\sqrt{2}} = \frac{a^2}{a^2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}. ]

Соответственно, угол ( \theta ) составляет: [ \theta = \arccos \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \arccos \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 45^\circ. ]

б) Угол между прямыми ( AC ) и ( A_1C_1 )

Теперь рассмотрим угол между диагоналями ( AC ) и ( A_1C_1 ). Координаты этих точек:

• ( A (0, 0, 0) ),
• ( C (a, b, 0) ),
• ( A_1 (0, 0, c) ),
• ( C_1 (a, b, c) ).

Векторы:

• ( \overrightarrow{AC} = C - A = (a, b, 0) ),
• ( \overrightarrow{A_1C_1} = C_1 - A_1 = (a, b, 0) ).

Очевидно, что векторы ( \overrightarrow{AC} ) и ( \overrightarrow{A_1C_1} ) одинаковы: [ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{A_1C_1} = (a, b, 0). ]

Следовательно, угол между этими векторами равен нулю: [ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{A_1C_1}}{|\overrightarrow{AC}| |\overrightarrow{A_1C_1}|} = \frac{|a|^2 + |b|^2}{\sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 + b^2} = 1. ]

Соответственно, угол ( \theta ) между ( AC ) и ( A_1C_1 ) равен: [ \theta = \arccos(1) = 0^\circ. ]

Итак, углы между заданными прямыми в прямоугольном параллелепипеде равны:

1. Угол между ( BD ) и ( CD ) равен ( 45^\circ ).
2. Угол между ( AC ) и ( A_1C_1 ) равен ( 0^\circ ).