В прямоугольной трапеции меньшее основание равно меньшей боковой стороне один из углов 45 градусов а...

Рассмотрим прямоугольную трапецию (ABCD) с основаниями (AB) и (CD), где (AB) — меньшее основание, а (CD) — большее основание. Пусть (AD) и (BC) — боковые стороны, причем (AD) является перпендикулярной к основаниям.

По условию, (AB = AD) и один из углов трапеции равен (45^\circ). Поскольку у нас прямоугольная трапеция, то угол (DAB = 45^\circ). Это значит, что (AD) и (AB) образуют прямоугольный треугольник (DAB) с углом (45^\circ) при вершине (A). В таком треугольнике катеты равны, следовательно, (AB = AD).

Средняя линия трапеции, которая параллельна основаниям и проходит на равном расстоянии от них, равна полусумме оснований: [MN = \frac{AB + CD}{2} = 10 \text{ см}.]

Подставим известное значение средней линии: [10 = \frac{AB + CD}{2}.]

Отсюда: [AB + CD = 20 \text{ см}.]

Теперь обозначим длину меньшего основания и меньшей боковой стороны как (a): [AB = AD = a.]

Таким образом, (a = AB = AD).

Теперь найдём (CD): [CD = 20 - a.]

Так как угол (DAB = 45^\circ), то в прямоугольном треугольнике (DAB) можно выразить гипотенузу (BD) через катет (a) (поскольку (BD) — диагональ трапеции и является гипотенузой этого треугольника).

Применим теорему Пифагора к треугольнику (DAB): [BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}.]

Теперь найдем длину боковой стороны (BC): [BC = CD - AB = (20 - a) - a = 20 - 2a.]

Периметр трапеции (ABCD) равен сумме длин всех её сторон: [P = AB + BC + CD + AD.]

Подставим известные значения: [P = a + (20 - 2a) + (20 - a) + a.]

Сократим: [P = a + 20 - 2a + 20 - a + a.] [P = 40 - a.]

Теперь найдём значение (a), чтобы выразить периметр численно. Средняя линия трапеции равна 10 см, и мы знаем, что: [10 = \frac{a + (20 - a)}{2}.]

Решим уравнение: [10 = \frac{20}{2}.] [10 = 10.]

Уравнение верно при любом значении (a). Значит (a) может быть любым числом, которое удовлетворяет условиям задачи. В реальных задачах обычно указывают числовое значение (a).

Если (a = 5) см (как пример): [P = 40 - 5 = 35 \text{ см}.]

Таким образом, для данной задачи при (a = 5) см периметр трапеции будет равен 35 см.

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойство прямоугольной трапеции, которое гласит, что средняя линия трапеции делит ее на два равнобедренных треугольника. Таким образом, мы можем построить высоту трапеции, которая будет равна половине разности оснований.

Пусть меньшее основание трапеции равно а, а средняя линия равна 10 см. Тогда высота трапеции будет равна (большее основание - меньшее основание) / 2 = (большее основание - а) / 2. Так как один из углов трапеции равен 45 градусов, то у нас имеется равнобедренный прямоугольный треугольник, в котором катеты равны высоте и меньшему основанию.

Используя тригонометрические соотношения прямоугольного треугольника, мы можем выразить большее основание трапеции через меньшее основание и тангенс угла 45 градусов: tg(45°) = (большее основание - а) / 10. Решив это уравнение, мы найдем большее основание трапеции.

Далее, мы можем найти боковые стороны трапеции, так как они равны меньшему основанию. И наконец, периметр трапеции будет равен сумме всех ее сторон: П = a + a + большее основание + большее основание.

Таким образом, решая уравнения и подставляя значения, мы сможем найти периметр данной прямоугольной трапеции.