В прямоугольной трапеции меньшая боковая сторона равна 3 дм и составляет с меньшей диагональю угол 45...

Для нахождения площади прямоугольной трапеции нам необходимо знать длины ее оснований и высоту.

По условию, у нас есть следующие данные:

• меньшая боковая сторона равна 3 дм
• меньшая диагональ составляет угол 45 градусов с меньшей боковой стороной
• острый угол трапеции равен 45 градусов

Из этого можно сделать вывод, что данная трапеция является прямоугольной.

Пусть большая диагональ равна D, а высота трапеции равна h. Тогда, используя тригонометрические функции, можем выразить D и h через меньшую боковую сторону:

D = 3 / cos 45° = 3 sqrt(2) h = 3 tan 45° = 3

Теперь можем найти площадь трапеции по формуле: S = (a + b) * h / 2, где a и b - основания трапеции

Подставляем значения: S = (3 + 3 sqrt(2)) 3 / 2 ≈ 9.43 дм²

Итак, площадь прямоугольной трапеции равна примерно 9.43 дм².

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

В условии задачи у нас есть прямоугольная трапеция. Напомним, что в прямоугольной трапеции один из углов равен 90 градусов. У нас также сказано, что острый угол трапеции равен 45 градусов. Это значит, что угол между основанием и боковой стороной составляет 45 градусов.

Давайте обозначим трапецию как (ABCD), где (AD) и (BC) — боковые стороны, (AB) — меньшее основание, а (CD) — большее основание. Пусть (AD = 3 \text{ дм}) и угол (\angle DAB = 45^\circ).

1. Нахождение высоты:

   В прямоугольной трапеции высота равна одной из боковых сторон. В данном случае, так как (\angle DAB = 45^\circ), то треугольник (ABD) является равнобедренным прямоугольным треугольником. Это значит, что (AB = BD).

   Также из свойств равнобедренного прямоугольного треугольника следует, что (AB = AD \cdot \sin(45^\circ) = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \text{ дм}).

   Высота (h) трапеции в данном случае также равна (\frac{3\sqrt{2}}{2} \text{ дм}).

2. Нахождение основания (CD):

   Чтобы найти большее основание (CD), мы используем тот факт, что (CD = AB + BD).

   Из треугольника (ABD), который является равнобедренным прямоугольным, мы знаем, что (BD = AB). Таким образом, (CD = AB + AB = 2 \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \text{ дм}).

3. Нахождение площади:

   Площадь (S) трапеции можно найти по формуле:

   [ S = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2} ]

   Подставим известные значения:

   [ S = \frac{\left(\frac{3\sqrt{2}}{2} + 3\sqrt{2}\right) \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}}{2} ]

   Упрощаем выражение:

   [ AB + CD = \frac{3\sqrt{2}}{2} + 3\sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} + \frac{6\sqrt{2}}{2} = \frac{9\sqrt{2}}{2} ]

   Тогда площадь:

   [ S = \frac{\left(\frac{9\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{9 \cdot 2 \cdot 3}{8} = \frac{54}{8} = \frac{27}{4} = 6.75 \text{ кв. дм} ]

Таким образом, площадь прямоугольной трапеции составляет (6.75) квадратных дециметров.