В прямоугольнике ABCD AD=10 см,AB=12 см.Через середину K стороны BC проведён перпендикуляр MK к его плоскости,равный 5 см. вычислите: а)расстояние от точки M до прямой AD; б)площади треугольника AMB и его проекции на плоскость данного треугольника;в)расстояние между прямыми BM и AD.
Рассмотрим прямоугольник ABCD, где AD = 10 см, AB = 12 см. Через середину K стороны BC проведен перпендикуляр MK к плоскости прямоугольника, равный 5 см.
Вопрос (а): Расстояние от точки M до прямой AD.
Чтобы найти расстояние от точки M до прямой AD, необходимо определить ортогональное расстояние от точки M до плоскости, содержащей прямую AD. Поскольку MK перпендикулярен к плоскости прямоугольника, расстояние от M до плоскости прямоугольника ABCD равняется длине MK, то есть 5 см. Так как AD лежит в плоскости прямоугольника, расстояние от M до прямой AD также равно 5 см.
Ответ: Расстояние от точки M до прямой AD равно 5 см.
Вопрос (б): Площади треугольника AMB и его проекции на плоскость данного треугольника.
Для нахождения площади треугольника AMB, определим координаты точек A, B и M.
Теперь найдем векторы AM и BM:
Найдем векторное произведение этих векторов для определения площади треугольника AMB:
[ \vec{AM} \times \vec{BM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 6 & 10 & 5 \ -6 & 10 & 5 \end{vmatrix} ]
Рассчитаем определитель:
[ \vec{AM} \times \vec{BM} = \mathbf{i} (10 \cdot 5 - 5 \cdot 10) - \mathbf{j} (6 \cdot 5 - 5 \cdot (-6)) + \mathbf{k} (6 \cdot 10 - 10 \cdot (-6)) ] [ = \mathbf{i} (50 - 50) - \mathbf{j} (30 + 30) + \mathbf{k} (60 + 60) ] [ = 0\mathbf{i} - 60\mathbf{j} + 120\mathbf{k} ] [ = (0, -60, 120) ]
Теперь находим длину этого вектора:
[ |\vec{AM} \times \vec{BM}| = \sqrt{0^2 + (-60)^2 + 120^2} = \sqrt{0 + 3600 + 14400} = \sqrt{18000} = 30\sqrt{20} = 30 \cdот 2 \sqrt{5} = 60\sqrt{5} ]
Площадь треугольника AMB составляет половину этой длины:
[ S_{AMB} = \frac{1}{2} |\vec{AM} \times \vec{BM}| = \frac{1}{2} \cdot 60\sqrt{5} = 30\sqrt{5} \text{ см}^2 ]
Проекция треугольника AMB на плоскость ABCD будет треугольником A'B'K. Поскольку сторона MK перпендикулярна плоскости, проекция точки M на плоскость будет точка K с координатами (6, 10, 0), и треугольник A'B'K будет с теми же основаниями и высотами (до плоскости).
Площадь треугольника ABK:
[ S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 = 60 \text{ см}^2 ]
Ответ: Площадь треугольника AMB равна ( 30\sqrt{5} \text{ см}^2 ), площадь его проекции на плоскость ABCD равна 60 см².
Вопрос (в): Расстояние между прямыми BM и AD.
Так как M находится на высоте, перпендикулярной плоскости прямоугольника, и BM не лежит в плоскости прямоугольника, расстояние между BM и AD будет равно расстоянию от точки M до плоскости ABCD, которое мы уже нашли в части (а) и которое равно 5 см.
Ответ: Расстояние между прямыми BM и AD равно 5 см.
а) Расстояние от точки M до прямой AD равно 5 см. б) Площадь треугольника AMB равна 30 см^2, площадь его проекции на плоскость данного треугольника также равна 30 см^2. в) Расстояние между прямыми BM и AD равно 5 см.
a) Расстояние от точки M до прямой AD можно найти как проекцию вектора MK на вектор AD. Для этого сначала найдем вектор AD: AD = AB + BD = 12 + 10 = 22 см. Теперь найдем проекцию вектора MK на вектор AD: |MK| cos(θ) = 5, где θ - угол между векторами MK и AD. Так как MK перпендикулярен плоскости прямоугольника ABCD, то угол между векторами MK и AD равен 90 градусов. Тогда |MK| = 5 см cos(90) = 0 см. Таким образом, расстояние от точки M до прямой AD равно 0 см.
б) Площадь треугольника AMB можно найти, используя формулу для площади треугольника через две стороны и угол между ними: S = 0.5 AB AM sin(∠AMB). Так как угол ∠AMB прямой, то sin(90) = 1, и S = 0.5 12 см * 5 см = 30 см^2. Площадь проекции треугольника AMB на плоскость данного треугольника также равна 30 см^2.
в) Расстояние между прямыми BM и AD равно расстоянию между точками, через которые проходят эти прямые. Точка B лежит на прямой AD, поэтому расстояние между прямыми BM и AD равно расстоянию от точки M до точки B. Так как треугольник AMB прямоугольный, то можно воспользоваться теоремой Пифагора: BM = √(AB^2 + AM^2) = √(12^2 + 5^2) = √(144 + 25) = √169 = 13 см. Таким образом, расстояние между прямыми BM и AD равно 13 см.
