В параллелограмме АВСД АЕ-биссектриса угла А. стороны параллелограмма АВ и ВС относятся как 4:9 АЕ пересекает...

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать свойство биссектрисы угла параллелограмма. Из условия задачи известно, что стороны параллелограмма АВ и ВС относятся как 4:9, а также что АЕ является биссектрисой угла А.

Пусть АВ = 4x, ВС = 9x. Тогда по свойству биссектрисы угла А мы можем выразить АЕ следующим образом: АЕ = $АВ\ast sin(\angle А$)/sin$\angle ВАЕ$.

Так как ВЕ является биссектрисой, то ∠ВАК = ∠КАЕ. Также в треугольнике АВК: sin$\angle ВАК$ = ВК/АК и sin$\angle КАВ$ = АК/ВК.

Из теоремы синусов для треугольника АВК: ВК/sin$\angle ВАК$ = АК/sin$\angle КАВ$.

Подставляем выражения для sin$\angle ВАК$ и sin$\angle КАВ$: ВК/(АЕ sin$\angle А$) = АК/(4x sin$\angle КАЕ$).

Таким образом, получаем соотношение ВК/КД = 4/9.

Для решения данной задачи начнем с анализа свойств параллелограмма и биссектрисы.

1. Параллелограмм и его свойства:

   • Противоположные стороны параллелограмма равны.
   • Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

2. Биссектриса угла:

   • Биссектриса угла делит его на два равных угла и в треугольниках обладает свойством делить противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

3. Отношение сторон:

   • Пусть $AB=4x$ и $BC=9x$, где $x$ — некоторое положительное число.

4. Диагонали параллелограмма:

   • Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Тогда $O$ — середина каждой диагонали.

5. Использование свойств биссектрисы:

   • Рассмотрим треугольник $ABD$. Биссектриса угла $A$ делит сторону $BD$ в точке $K$ на отрезки, пропорциональные сторонам $AB$ и $AD$. В данном случае $AB=AD$, поскольку $AD=BC$ $стороныпараллелограмма$. Следовательно, $AB=4x$ и $AD=9x$.

Теперь используем свойство биссектрисы в треугольнике $ABD$: $\frac{BK}{KD}=\frac{AB}{AD}=\frac{4x}{9x}=\frac{4}{9}$

1. Нахождение отношения отрезков $BK$ и $KD$:

   • Пусть $BK=4y$ и $KD=9y$.

2. Диагональ $BD$: $BD=BK+KD=4y+9y=13y$

Таким образом, отношение $BK$ к $KD$ будет: $\frac{BK}{KD}=\frac{4y}{9y}=\frac{4}{9}$

Следовательно, отношение $BK:KD$ равно $4:9$.

Ответ: $ВК:КД=4:9$.