В параллелограмме ABCD отмечена точка M - середина CD. Отрезок BM пересекается с диагональю AC в точке...

Для доказательства того, что ( \frac{AK}{CK} = 2:1 ) в параллелограмме (ABCD) с точкой (M) - серединой отрезка (CD), и точки (K) - пересечением отрезка (BM) с диагональю (AC), рассмотрим следующие шаги:

1. Обозначения и свойства параллелограмма:

   • Пусть (A(0, 0)), (B(a, b)), (C(a + c, b + d)), и (D(c, d)).
   • В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны.
   • Координаты точки (M) как середины отрезка (CD) будут: [ M\left(\frac{c + (a + c)}{2}, \frac{d + (b + d)}{2}\right) = M\left(\frac{2a + 2c}{2}, \frac{2b + 2d}{2}\right) = M(a + c, b + d). ]

2. Уравнения прямых:

   • Диагональ (AC) можно параметризовать как: [ AC: \mathbf{r} = \mathbf{A} + t(\mathbf{C} - \mathbf{A}) = (0, 0) + t((a+c, b+d) - (0, 0)) \implies \mathbf{r} = t(a+c, b+d). ]
   • Отрезок (BM) можно параметризовать как: [ BM: \mathbf{r} = \mathbf{B} + s(\mathbf{M} - \mathbf{B}) = (a, b) + s((a+c, b+d) - (a, b)) \implies \mathbf{r} = (a, b) + s(c, d). ]

3. Поиск точки пересечения (K):

   • Приравняем параметрические уравнения: [ t(a+c, b+d) = (a, b) + s(c, d). ]
   • Разделим это уравнение на системы уравнений по координатам: [ t(a+c) = a + sc, \quad t(b+d) = b + sd. ]
   • Решим систему относительно (t) и (s):
     • Из первого уравнения: [ t(a+c) = a + sc \implies t = \frac{a + sc}{a+c}. ]
     • Из второго уравнения: [ t(b+d) = b + sd \implies t = \frac{b + sd}{b+d}. ]
     • Приравниваем два выражения для (t): [ \frac{a + sc}{a+c} = \frac{b + sd}{b+d}. ]
     • Решим это уравнение для (s).

4. Нахождение отношения ( \frac{AK}{CK} ):

   • Заметим, что свойство медиан в параллелограмме может быть использовано.
   • В треугольнике (ACD) медиана (AM) делит треугольник на два равных по площади треугольника.
   • Следовательно, (M) делит (AC) в отношении 2:1 (поскольку (M) - середина (CD)).
   • Так как (BM) пересекает диагональ (AC) в точке (K), эта точка будет делить (AC) в том же соотношении.

5. Заключение:

   • Получаем, что ( \frac{AK}{CK} = 2:1 ), так как медиана параллелограмма, проведенная от вершины к середине противоположной стороны, делит диагональ в отношении 2:1.

Таким образом, отношение ( \frac{AK}{CK} = 2:1 ) доказано.

Для доказательства того, что AK:CK=2:1, рассмотрим треугольники ABM и KCM.

Поскольку M - середина отрезка CD, то BM = MD. Также, по условию, BM пересекает диагональ AC в точке K.

Из свойства треугольника ABM, мы знаем, что точка K делит сторону AC в отношении AK:KC = 1:1 (по теореме Талеса).

Таким образом, AK = 1/3 AC и CK = 2/3 AC. То есть AK:CK=1:2 и, следовательно, AK:CK=2:1.

Таким образом, доказано, что AK:CK=2:1.