В параллелограмме ABCD на стороне BC взята точка P так, что BP : PC =3: 1, O- точка пересечения диагоналей....

Для решения этой задачи нужно использовать свойства параллелограммов и понятие барицентрических координат. Давайте разберемся шаг за шагом.

1. Параллелограмм и координаты:

   • В параллелограмме ABCD стороны AB и CD равны и параллельны, как и стороны AD и BC.
   • Пусть (\mathbf{x} = \overrightarrow{AB}) и (\mathbf{y} = \overrightarrow{AD}).

2. Точка P на стороне BC:

   • Поскольку BP : PC = 3:1, точка P делит сторону BC в отношении 3:1.

   • Это означает, что вектор (\overrightarrow{BP} = \frac{3}{4}\overrightarrow{BC}) и (\overrightarrow{PC} = \frac{1}{4}\overrightarrow{BC}).

   • Вектор (\overrightarrow{BC}) равен (\overrightarrow{AD} = \mathbf{y}) (так как параллелограмм).

   • Следовательно, (\overrightarrow{BP} = \frac{3}{4} \mathbf{y}).

3. Выражение вектора (PA):

   • (\overrightarrow{PA} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AP}).
   • Для нахождения (\overrightarrow{AP}), используем: (\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BP} = \mathbf{x} + \frac{3}{4} \mathbf{y}).
   • Следовательно, (\overrightarrow{PA} = -\overrightarrow{AP} = -\mathbf{x} - \frac{3}{4} \mathbf{y}).

4. Точка пересечения диагоналей O:

   • Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
   • Пусть (\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \mathbf{x} + \mathbf{y}).
   • Пусть (\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} = -\mathbf{x} + \mathbf{y}).

5. Выражение вектора (AO):

   • Точка O делит диагональ AC пополам: (\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}(\mathbf{x} + \mathbf{y})).

Итак, векторы выражаются следующим образом:

• (\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}(\mathbf{x} + \mathbf{y}))
• (\overrightarrow{PA} = -\mathbf{x} - \frac{3}{4} \mathbf{y})

Это решение показывает, как точки внутри параллелограмма и их отношения влияют на выражение векторов через базовые векторы сторон параллелограмма.

Для начала рассмотрим векторы BP и PC. Так как BP : PC = 3:1, то можно представить BP как 3/4 от вектора BC и PC как 1/4 от вектора BC. Таким образом, BP = 3/4 BC и PC = 1/4 BC.

Теперь рассмотрим векторы AO и PA. Заметим, что вектор AO можно представить как сумму векторов AP и OP, так как точка O - точка пересечения диагоналей. То есть AO = AP + OP.

Так как в параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, то векторы AB и DC равны, а векторы AD и BC равны. Таким образом, можно выразить векторы AB и AD через векторы x и y: AB = x, AD = y.

Теперь можем выразить векторы AP и OP через x и y. Поскольку AP = PC, то AP = 1/4 BC = 1/4 (AB + AD) = 1/4 (x + y). Также, OP = -1/4 BC = -1/4 (AB + AD) = -1/4 (x + y).

Таким образом, векторы AO и PA можно выразить через векторы x и y: AO = AP + OP = 1/4 (x + y) - 1/4 (x + y) = 0, PA = 1/4 * (x + y).