В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O. Выразите через векторы a=AB и b=AD вектор OA....

Для выражения вектора OA через векторы a=AB и b=AD воспользуемся свойством параллелограмма: диагонали параллелограмма делятся их пересечением пополам.

Таким образом, вектор OA можно представить как сумму векторов OB и OD: OA = OB + OD.

Поскольку вектор OB равен половине суммы векторов a и b, а вектор OD равен половине разности этих векторов, то можно записать: OB = (a + b) / 2, OD = (a - b) / 2.

Подставляя это в выражение для вектора OA, получаем: OA = (a + b) / 2 + (a - b) / 2 = a/2 + b/2.

Таким образом, вектор OA можно выразить через векторы a=AB и b=AD следующим образом: OA = (AB + AD) / 2.

Вектор OA можно выразить как сумму векторов OB и BA. Обозначим вектор OB как c=BC. Тогда OA = OB + BA = c + a = c + (c + b) = 2c + b.

Конечно, давайте рассмотрим параллелограмм (ABCD) и выразим вектор (\mathbf{OA}) через векторы (\mathbf{a} = \overrightarrow{AB}) и (\mathbf{b} = \overrightarrow{AD}).

1. Диагонали параллелограмма и их свойства: В параллелограмме диагонали пересекаются в точке (O) и делятся этой точкой пополам. Это означает, что точка (O) является серединой каждой диагонали.

2. Обозначим векторы: Пусть (\mathbf{a} = \overrightarrow{AB}) и (\mathbf{b} = \overrightarrow{AD}). Тогда диагонали (AC) и (BD) можно выразить через векторы (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}).

3. Выражение вектора (\overrightarrow{AC}): Вектор (\overrightarrow{AC}) можно записать как сумму векторов (\overrightarrow{AB}) и (\overrightarrow{BC}). Но поскольку (BC = AD) (стороны параллелограмма), то (\overrightarrow{BC} = \mathbf{b}). Таким образом, [ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \mathbf{a} + \mathbf{b}. ]

4. Выражение вектора (\overrightarrow{BD}): Вектор (\overrightarrow{BD}) можно записать как разность векторов (\overrightarrow{AD}) и (\overrightarrow{AB}). Таким образом, [ \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}. ]

5. Точка пересечения диагоналей: Точка (O) делит каждую диагональ пополам. Поэтому вектор (\overrightarrow{AO}) будет равен половине вектора (\overrightarrow{AC}): [ \overrightarrow{AO} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} = \frac{1}{2} (\mathbf{a} + \mathbf{b}). ]

6. Выражение вектора (\overrightarrow{OA}): Поскольку (\overrightarrow{OA}) — это вектор, направленный от точки (O) к точке (A), он равен вектору (\overrightarrow{AO}) с обратным знаком: [ \overrightarrow{OA} = - \overrightarrow{AO} = - \frac{1}{2} (\mathbf{a} + \mathbf{b}). ]

Таким образом, вектор (\overrightarrow{OA}) через векторы (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}) можно выразить следующим образом: [ \overrightarrow{OA} = - \frac{1}{2} (\mathbf{a} + \mathbf{b}). ]

Этот результат использует свойства параллелограмма и диагоналей, которые пересекаются и делятся пополам в точке пересечения.