В параллелограмме abcd диагонали пересекаются в точке о. а (1; 3; — 1); в (—2; 1; 0); о (0; 1,5; 0)....

1) Найдем координаты точек C и D. Так как диагонали в параллелограмме пересекаются в точке O, то вектор OA равен вектору OB, и вектор OC равен вектору OD.

Вектор OA = (1; 3; -1) Вектор OB = (0; 1.5; 0) Тогда вектор OC = OB - OA = (0 - 1; 1.5 - 3; 0 + 1) = (-1; -1.5; 1)

Координаты точки C = координаты точки O + координаты вектора OC = (0; 1.5; 0) + (-1; -1.5; 1) = (-1; 0; 1)

Аналогично, координаты точки D = координаты точки O + координаты вектора OD = (0; 1.5; 0) + (-1; -1.5; 1) = (-1; 0; 1)

2) Длина стороны BC равна длине вектора BC, которая вычисляется по формуле: √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)

Длина BC = √((-2 - 0)^2 + (1 - 1.5)^2 + (0 - 0)^2) = √((-2)^2 + (-0.5)^2 + 0^2) = √(4 + 0.25) = √4.25

3) Вектор AD = D - A = (-1; 0; 1) - (1; 3; -1) = (-1 - 1; 0 - 3; 1 + 1) = (-2; -3; 2)

Разложим вектор AD по векторам i, j, k: AD = -2i - 3j + 2k

Давайте решим задачи по шагам.

1) Найти координаты ( C ) и ( D )

Диагонали параллелограмма пересекаются в точке ( O ), которая является серединой каждой из диагоналей.

Координаты точки ( C )

Пусть координаты точки ( C ) равны ( (x, y, z) ).

Поскольку ( O ) — середина диагонали ( AC ), выполняется условие: [ \left(\frac{1 + x}{2}, \frac{3 + y}{2}, \frac{-1 + z}{2}\right) = (0, 1.5, 0) ]

Решим систему уравнений:

1. (\frac{1 + x}{2} = 0 \Rightarrow 1 + x = 0 \Rightarrow x = -1)
2. (\frac{3 + y}{2} = 1.5 \Rightarrow 3 + y = 3 \Rightarrow y = 0)
3. (\frac{-1 + z}{2} = 0 \Rightarrow -1 + z = 0 \Rightarrow z = 1)

Получаем координаты точки ( C ): ((-1, 0, 1)).

Координаты точки ( D )

Пусть координаты точки ( D ) равны ( (x, y, z) ).

Поскольку ( O ) — середина диагонали ( BD ), выполняется условие: [ \left(\frac{-2 + x}{2}, \frac{1 + y}{2}, \frac{0 + z}{2}\right) = (0, 1.5, 0) ]

Решим систему уравнений:

1. (\frac{-2 + x}{2} = 0 \Rightarrow -2 + x = 0 \Rightarrow x = 2)
2. (\frac{1 + y}{2} = 1.5 \Rightarrow 1 + y = 3 \Rightarrow y = 2)
3. (\frac{0 + z}{2} = 0 \Rightarrow z = 0)

Получаем координаты точки ( D ): ((2, 2, 0)).

2) Найти длину стороны ( BC )

Координаты точек ( B ) и ( C ) равны ((-2, 1, 0)) и ((-1, 0, 1)) соответственно. Длина вектора ( BC ) рассчитывается по формуле: [ BC = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} ]

Подставим значения: [ BC = \sqrt{((-1) - (-2))^2 + (0 - 1)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} ]

3) Разложить вектор ( AD ) по векторам ( \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} )

Вектор ( AD ) можно найти как разность координат точек ( D ) и ( A ). Координаты ( A ): ((1, 3, -1)) Координаты ( D ): ((2, 2, 0))

Вектор ( \mathbf{AD} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) ): [ \mathbf{AD} = (2 - 1, 2 - 3, 0 - (-1)) = (1, -1, 1) ]

Разложение по векторам ( \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} ): [ \mathbf{AD} = 1\mathbf{i} - 1\mathbf{j} + 1\mathbf{k} ]

Таким образом, координаты точек ( C ) и ( D ) равны ((-1, 0, 1)) и ((2, 2, 0)) соответственно, длина стороны ( BC ) равна ( \sqrt{3} ), а вектор ( AD ) разлагается как ( \mathbf{i} - \mathbf{j} + \mathbf{k} ).

1) Координаты точки C: (1,5; 3; 0) Координаты точки D: (-1; 3; -1)

2) Длина стороны ВС: √((1-(-2))^2 + (3-1)^2 + (0-0)^2) = √(3^2 + 2^2) = √13

3) Вектор AD = (-2-1; 1-3; 0-(-1)) = (-3; -2; 1) Разложение вектора AD по i, j, k: AD = -3i - 2j + k