В параллелограмме ABCD диагональ BD перпендикулярна стороне AВ, один из углов параллелограмма =120°,...

Для начала найдем длину диагонали BD. Так как BD перпендикулярна стороне AB, то треугольник ABD является прямоугольным. По условию один из углов параллелограмма равен 120°, следовательно, угол B равен 60°. Так как треугольник ABD прямоугольный, то угол A равен 30°. Теперь мы можем применить тригонометрические функции для нахождения длины диагонали BD.

В треугольнике ABD: AD = 12 см, угол A = 30°.

Так как tan(угол A) = AD / AB, то tan(30°) = 12 / AB, AB = 12 / tan(30°) = 12 / √3 = 4√3 см.

Теперь найдем длину диагонали BD: BD = 2 AB = 2 4√3 = 8√3 см.

Теперь найдем площадь треугольника CDO. Так как диагонали параллелограмма делятся друг другом пополам, то CO = 1/2 BD = 1/2 8√3 = 4√3 см.

Площадь треугольника CDO можно найти по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними: S = 1/2 CD CO sin(угол DOC). Так как угол DOC равен углу ADB, который равен 90° (так как BD - диагональ прямоугольного треугольника ABD), то sin(90°) = 1. Следовательно, S = 1/2 CD * 4√3.

Мы знаем, что противоположные стороны параллелограмма равны, поэтому CD = AB = 4√3 см. Подставляем это значение в формулу: S = 1/2 4√3 4√3 = 24 см².

Итак, длины диагоналей параллелограмма ABCD равны 4√3 см и 8√3 см соответственно, а площадь треугольника CDO равна 24 квадратных сантиметра.

Для параллелограмма ABCD, где диагональ BD перпендикулярна стороне AB, угол A равен 120°, и AD = 12 см, необходимо найти длины диагоналей AC и BD, а также площадь треугольника CDO.

1. Определение диагонали BD:

   Поскольку диагональ BD перпендикулярна стороне AB и угол A равен 120°, мы можем использовать свойства параллелограмма и тригонометрию. Давайте обозначим стороны AB за a и AD за b. В данном случае a - это неизвестная величина, а b = 12 см.

   Угол A = 120° разбивается на два угла: угол между диагональю BD и стороной AD, обозначим его как α, и угол между диагональю BD и стороной CD, обозначим его как β. Поскольку диагональ BD является высотой, проведенной из вершины D на сторону AB, то угол между BD и AD равен 90° - 60° = 30° (так как угол A = 120°, и угол между AD и AB = 180° - 120° = 60°).

   Теперь мы можем найти длину диагонали BD с использованием тригонометрии. В треугольнике ABD: [ \sin(30°) = \frac{BD}{AD} ] [ \frac{1}{2} = \frac{BD}{12} ] [ BD = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \text{ см} ]

2. Определение диагонали AC:

   В параллелограмме диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Пусть точка O - это точка пересечения диагоналей AC и BD. Поскольку диагональ BD перпендикулярна стороне AB, точка O делит диагональ AC на две равные части.

   В треугольнике ABD угол A = 120°, угол BDO = 90°, и BD = 6 см. Используем косинус угла A: [ \cos(120°) = -\frac{1}{2} ] Для нахождения длины диагонали AC, воспользуемся законом косинусов в треугольнике ABD: [ AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 \cdot AB \cdot BD \cdot \cos(120°) ] [ 12^2 = a^2 + 6^2 - 2 \cdot a \cdot 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) ] [ 144 = a^2 + 36 + 6a ] [ a^2 + 6a - 108 = 0 ]

   Решаем квадратное уравнение: [ a = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-108)}}{2 \cdot 1} ] [ a = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 432}}{2} ] [ a = \frac{-6 \pm \sqrt{468}}{2} ] [ a = \frac{-6 \pm 6\sqrt{13}}{2} ] [ a = -3 \pm 3\sqrt{13} ]

   Принимаем положительное значение: [ a = 3\sqrt{13} - 3 ]

   Поскольку диагональ AC делится точкой O пополам, ее длина будет: [ AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot \sqrt{(3\sqrt{13} - 3)^2 + 6^2} ]

3. Площадь треугольника CDO:

   Точка O - середина диагоналей, следовательно, CO = AO и равно половине длины диагонали AC. Для нахождения площади треугольника CDO, воспользуемся формулой площади треугольника через основание и высоту: [ S{\Delta CDO} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot BD \cdot \sin(30°) ] [ S{\Delta CDO} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} ] [ S_{\Delta CDO} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6 \cdot 0.5 = 18 \text{ квадратных сантиметров} ]

Итак, диагонали параллелограмма ABCD равны: [ BD = 6 \text{ см}, \quad AC = 2 \cdot \left(3\sqrt{13} - 3\right) ]

Площадь треугольника CDO: [ S_{\Delta CDO} = 18 \text{ квадратных сантиметров} ]