В параллелограмме ABCD биссектриса угла С пересекает сторону AD в точке M: а) Докажите, что треугольник...

Для решения задачи рассмотрим каждый пункт отдельно.

а) Докажем, что треугольник CBM является равнобедренным.

Поскольку M — точка пересечения биссектрисы угла C с стороной AD, соответственно, углы (\angle ACM) и (\angle BCM) равны по определению биссектрисы. Рассмотрим треугольники (\triangle ACM) и (\triangle BCM). В этих треугольниках у нас:

• (\angle ACM = \angle BCM) (по построению биссектрисы),
• (\angle CAM = \angle CBM) (как соответственные углы при параллельных прямых AD и BC и секущей CM).

Таким образом, по признаку равенства углов, (\triangle ACM \sim \triangle BCM). Однако, нам нужно показать, что (\triangle CBM) равнобедренный, а не подобный. Заметим, что в параллелограмме противоположные стороны равны ((AD = BC)). Теперь, так как углы (\angle ACM) и (\angle BCM) равны, и сторона CM является общей, (\triangle CBM) является равнобедренным.

б) Найдем периметр параллелограмма.

Известно, что AM = 3,7 дм и MB = 5,9 дм. В параллелограмме противоположные стороны равны, т.е. (AD = BC) и (AB = CD).

Сначала найдём длину стороны BC. Так как (\triangle CBM) равнобедренный, то (CM = BM = 5,9) дм.

Теперь найдём длину стороны AD, которая равна сумме AM и MD. Поскольку M находится на AD, (AD = AM + MD), и также AD = BC по свойству параллелограмма. В данном случае (AD = 3,7 + 5,9 = 9,6) дм.

Теперь мы знаем, что:

• (AB = CD = 9,6) дм (так как противоположные стороны параллелограмма равны),
• (AD = BC = 9,6) дм.

Таким образом, периметр параллелограмма (P) равен: [ P = 2 \times (AB + BC) = 2 \times (9,6 + 9,6) = 2 \times 19,2 = 38,4 \text{ дм}. ]

Ответ: Периметр параллелограмма равен 38,4 дм.

а) Треугольник CBM равнобедренный, так как углы BCM и CBM равны (по свойству биссектрисы).

б) Периметр параллелограмма ABCD равен 2(AB + BC) = 2(AM + MB + BC) = 2(3,7 + 5,9 + BC) = 2(9,6 + BC) = 19,2 + 2BC.

а) Доказательство: Поскольку биссектриса угла С делит сторону AD пополам, то AM = MD. Также, по условию, CB || AD, поэтому углы C и B равны друг другу. Таким образом, треугольник CBM имеет две равные стороны (CB = BM) и равные углы при этих сторонах (C = B). Следовательно, треугольник CBM является равнобедренным.

б) Найдем длину стороны параллелограмма: AM + MB = 3,7 дм. + 5,9 дм. = 9,6 дм. Так как AM = MD, то MD = 3,7 дм. Так как CB || AD, то CD = AB = 9,6 дм. Поэтому периметр параллелограмма ABCD равен: 2(AB + BC) = 2(9,6 дм. + 5,9 дм.) = 2*15,5 дм. = 31 дм.