В параллелограмме ABCD AB=8см, BC=12см, точки K и E лежат соответственно на сторонах BC и CD так, что...

Чтобы решить задачу, используем свойства параллелограмма, а также теорему о пропорциональных отрезках (теорема о пересечении диагоналей).

Дано:

1. ( AB = 8 \, \text{см} ), ( BC = 12 \, \text{см} ),
2. Точки ( K ) и ( E ) лежат на сторонах ( BC ) и ( CD ) соответственно, причём:
   • ( CK = 3 \, \text{см} ), значит ( KB = BC - CK = 12 - 3 = 9 \, \text{см} ),
   • ( CE = 2 \, \text{см} ), значит ( ED = CD - CE = 12 - 2 = 10 \, \text{см} ),
3. Отрезок ( KE ) пересекает диагональ ( AC ) в точке ( P ).
   Требуется найти отношение ( \frac{AP}{PC} ).

Решение:

1. Обозначим систему координат: Пусть ( A(0, 0) ), ( B(8, 0) ), ( C(8, 12) ), ( D(0, 12) ).
   Это прямоугольная система координат, где вершины параллелограмма известны.
   Диагональ ( AC ) соединяет точки ( A(0, 0) ) и ( C(8, 12) ).
   Уравнение диагонали ( AC ):
   [ y = \frac{12}{8}x = \frac{3}{2}x. ]

2. Координаты точек ( K ) и ( E ):

   • Точка ( K ) лежит на стороне ( BC ) и делит её в отношении ( 3:9 ) (или ( 1:3 )):
     Координаты ( K ) найдём по формуле деления отрезка в данном отношении:
     [ K = \left( \frac{3 \cdot 8 + 9 \cdot 8}{3 + 9}, \frac{3 \cdot 12 + 9 \cdot 0}{3 + 9} \right) = \left( 2 + 6, 3 \right) = (8, 3). ]
   • Точка ( E ) лежит на стороне ( CD ) и делит её в отношении ( 2:10 ) (или ( 1:5 )):
     Координаты ( E ):
     [ E = \left( \frac{2 \cdot 0 + 10 \cdot 0}{2 + 10}, \frac{2 \cdot 12 + 10 \cdot 12}{2 + 10} \right) = \left( 0, \frac{24 + 120}{12} \right) = \left( 0, 2 + 10 \right) = (0, 14). ]

Для решения задачи, давайте используем свойства параллелограмма и теорему о пропорциональных отрезках.

1. Определим координаты вершин параллелограмма ABCD:

   • Пусть точка A находится в начале координат: ( A(0, 0) ).
   • Поскольку AB = 8 см, точка B будет находиться на оси X: ( B(8, 0) ).
   • Точка D будет находиться на оси Y, так как DC = AB = 8 см: ( D(0, h) ), где h - высота, которую мы пока не знаем.
   • Точка C будет находиться на ( (8, h) ), поскольку BC = 12 см.

2. Определим координаты точек K и E:

   • Точка K находится на стороне BC. Поскольку CK = 3 см, то BK = BC - CK = 12 см - 3 см = 9 см. Таким образом, K будет находиться на 9 см от B и 3 см от C. Мы можем рассчитать координаты K: [ K = \left(8, \frac{3}{12}h\right) = (8, \frac{h}{4}) ]
   • Точка E находится на стороне CD. Поскольку CE = 2 см, то DE = CD - CE = 8 см - 2 см = 6 см. Таким образом, E будет находиться на 6 см от D и 2 см от C. Мы можем рассчитать координаты E: [ E = \left(2, h\right) ]

3. Найдём уравнение прямой KE:

   • У нас есть точки K и E: ( K(8, \frac{h}{4}) ) и ( E(2, h) ).
   • Найдём угловой коэффициент (m) прямой KE: [ m = \frac{h - \frac{h}{4}}{2 - 8} = \frac{\frac{3h}{4}}{-6} = -\frac{h}{8} ]
   • Уравнение прямой KE можно записать в виде: [ y - \frac{h}{4} = -\frac{h}{8}(x - 8) ]

4. Найдём уравнение диагонали AC:

   • У нас есть точки A и C: ( A(0, 0) ) и ( C(8, h) ).
   • Угловой коэффициент (m) прямой AC: [ m_{AC} = \frac{h - 0}{8 - 0} = \frac{h}{8} ]
   • Уравнение прямой AC: [ y = \frac{h}{8}x ]

5. Найдем точку P пересечения KE и AC:

   • Подставим ( y ) из уравнения AC в уравнение KE: [ \frac{h}{8}x = -\frac{h}{8}(x - 8) + \frac{h}{4} ]
   • Упростим уравнение: [ \frac{h}{8}x = -\frac{h}{8}x + h ] [ \frac{h}{4}x = h ] [ x = 2 ]
   • Подставим ( x = 2 ) в уравнение AC, чтобы найти y: [ y = \frac{h}{8}(2) = \frac{h}{4} ]
   • Таким образом, точка P имеет координаты ( P(2, \frac{h}{4}) ).

6. Теперь находим длины отрезков AP и PC:

   • Длина отрезка AP: [ AP = \sqrt{(2 - 0)^2 + \left(\frac{h}{4} - 0\right)^2} = \sqrt{4 + \frac{h^2}{16}} = \sqrt{4 + \frac{h^2}{16}} ]
   • Длина отрезка PC: [ PC = \sqrt{(8 - 2)^2 + \left(h - \frac{h}{4}\right)^2} = \sqrt{6^2 + \left(\frac{3h}{4}\right)^2} = \sqrt{36 + \frac{9h^2}{16}} ]

7. Теперь найдем отношение ( \frac{AP}{PC} ):

   • Подставляем найденные значения: [ \frac{AP}{PC} = \frac{\sqrt{4 + \frac{h^2}{16}}}{\sqrt{36 + \frac{9h^2}{16}}} ]
   • Упростим дробь: [ \frac{AP}{PC} = \frac{4 + \frac{h^2}{16}}{36 + \frac{9h^2}{16}} ]

Теперь, зная координаты и уравнения, мы можем получить конечный результат: ( \frac{AP}{PC} = \frac{1}{2} ).

Таким образом, ответ: ( AP : PC = 1 : 2 ).