В параллелограмме ABCD AB=7, AC=11, AD=8. Найдите площадь параллелограмма

Для нахождения площади параллелограмма ABCD, заданного сторонами (AB = 7), (AD = 8) и диагональю (AC = 11), можно воспользоваться формулой, связанной с длинами сторон и диагонали.

Площадь параллелограмма (S) можно выразить через длины сторон и диагональ, используя тригонометрический метод. Площадь параллелограмма также может быть найдена как:

[ S = AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD), ]

где (\angle BAD) — угол между сторонами (AB) и (AD).

Так как в задаче известна диагональ (AC), можно применить теорему косинусов для треугольника (ABD):

[ AC^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle BAD). ]

Подставим известные значения:

[ 11^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos(\angle BAD). ]

Рассчитаем:

[ 121 = 49 + 64 - 112 \cdot \cos(\angle BAD), ]

[ 121 = 113 - 112 \cdot \cos(\angle BAD), ]

[ 8 = -112 \cdot \cos(\angle BAD), ]

[ \cos(\angle BAD) = -\frac{8}{112} = -\frac{1}{14}. ]

Теперь найдём (\sin(\angle BAD)) с помощью основного тригонометрического тождества:

[ \sin^2(\angle BAD) = 1 - \cos^2(\angle BAD). ]

Поскольку (\cos^2(\angle BAD) = \left(-\frac{1}{14}\right)^2 = \frac{1}{196}), то:

[ \sin^2(\angle BAD) = 1 - \frac{1}{196} = \frac{196}{196} - \frac{1}{196} = \frac{195}{196}. ]

Поэтому:

[ \sin(\angle BAD) = \sqrt{\frac{195}{196}} = \frac{\sqrt{195}}{14}. ]

Теперь можно найти площадь:

[ S = 7 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{195}}{14}. ]

Упростим:

[ S = \frac{56 \cdot \sqrt{195}}{14} = 4 \cdot \sqrt{195}. ]

Следовательно, площадь параллелограмма равна (4\sqrt{195}).

Для нахождения площади параллелограмма, можно воспользоваться формулой для нахождения площади по двум сторонам и углу между ними: S = AB AC sin(угол BAC)

Сначала найдем угол BAC, используя косинусную теорему: AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB BC cos(BAC) 11^2 = 7^2 + BC^2 - 2 7 BC cos(BAC) 121 = 49 + BC^2 - 14BC * cos(BAC)

Также у нас есть информация о третьей стороне AD: 8^2 = 7^2 + BC^2 - 2 7 BC cos(180 - BAC) 64 = 49 + BC^2 + 14BC cos(BAC)

Теперь решим систему уравнений и найдем угол BAC: 121 = 49 + BC^2 - 14BC cos(BAC) 64 = 49 + BC^2 + 14BC cos(BAC)

Из этих уравнений мы можем найти, что cos(BAC) = -5/7, а следовательно sin(BAC) = √(1 - cos^2(BAC)) = 24/35.

Теперь можем найти площадь параллелограмма: S = 7 11 24/35 = 1848/35 = 52.8

Ответ: Площадь параллелограмма ABCD равна 52.8.