В параллелепипеде АВСDA1B1C1D1 АВ вектор =а, АD вектор = b, АА1 = с. Выразить а, b, c вектор q= КМ вектор,...

Для того чтобы выразить ( \vec{q} = \overrightarrow{KM} ) через векторы ( \vec{a} ), ( \vec{b} ) и ( \vec{c} ) в параллелепипеде ( ABCDA_1B_1C_1D_1 ), сначала определим координаты точек ( K ) и ( M ).

1. Определение координат точки ( K ): Точка ( K ) является серединой ребра ( A_1B_1 ). Векторная формула для нахождения середины отрезка между точками ( A_1 ) и ( B_1 ) такова: [ \overrightarrow{A_1K} = \frac{1}{2}\overrightarrow{A_1B_1} ] Поскольку ( A_1 ) и ( B_1 ) — это вершины параллелепипеда, можем использовать векторы ( \vec{a} ) и ( \vec{c} ): [ \overrightarrow{A_1B_1} = \vec{a} ] Таким образом: [ \overrightarrow{A_1K} = \frac{1}{2}\vec{a} ] Вектор ( \overrightarrow{AK} ) можно выразить как сумму ( \overrightarrow{AA_1} ) и ( \overrightarrow{A_1K} ): [ \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{A_1K} = \vec{c} + \frac{1}{2}\vec{a} ]

2. Определение координат точки ( M ): Точка ( M ) делит ребро ( CC_1 ) в отношении 1:2. Векторная формула для нахождения такой точки: [ \overrightarrow{CM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CC_1} ] Поскольку ( C ) и ( C_1 ) — это вершины параллелепипеда, можем использовать вектор ( \vec{c} ): [ \overrightarrow{CC_1} = \vec{c} ] Таким образом: [ \overrightarrow{CM} = \frac{1}{3}\vec{c} ] Вектор ( \overrightarrow{AM} ) можно выразить как сумму ( \overrightarrow{AC} ) и ( \overrightarrow{CM} ). Поскольку ( C ) можно представить как ( \overrightarrow{AC} = \vec{a} + \vec{b} ): [ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CM} = (\vec{a} + \vec{b}) + \frac{1}{3}\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c} ]

3. Нахождение вектора ( \overrightarrow{KM} ): Вектор ( \overrightarrow{KM} ) можно выразить как разность векторов ( \overrightarrow{AM} ) и ( \overrightarrow{AK} ): [ \overrightarrow{KM} = \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AK} ] Подставляем ранее найденные выражения для ( \overrightarrow{AM} ) и ( \overrightarrow{AK} ): [ \overrightarrow{KM} = \left(\vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}\right) - \left(\vec{c} + \frac{1}{2}\vec{a}\right) ] Упрощаем выражение: [ \overrightarrow{KM} = \vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c} - \vec{c} - \frac{1}{2}\vec{a} ] [ \overrightarrow{KM} = \left(\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{a}\right) + \vec{b} + \left(\frac{1}{3}\vec{c} - \vec{c}\right) ] [ \overrightarrow{KM} = \frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b} - \frac{2}{3}\vec{c} ]

Таким образом, вектор ( \vec{q} = \overrightarrow{KM} ) можно выразить через векторы ( \vec{a} ), ( \vec{b} ) и ( \vec{c} ) следующим образом: [ \vec{q} = \frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b} - \frac{2}{3}\vec{c} ]

Для выражения векторов a, b и c через вектор q, где q = KM, нужно учитывать следующие свойства параллелепипеда:

1. В параллелепипеде противоположные ребра равны и параллельны. Следовательно, AB = CD, AD = BC, AA1 = C1D1 = B1D1 = A1B1 = c.

2. Пусть точка K - середина ребра A1B1, а точка M делит ребро CC1 в отношении 1:2. Тогда вектор q = KM = 1/3 (CC1) = 1/3 c.

Теперь мы можем выразить векторы a и b через вектор q:

a = AB = AD + DC = b + 2q = b + 2/3 * c b = AD = b

Таким образом, выражение векторов a, b и c через вектор q будет: a = b + 2/3 * c b = b c = c

Для выражения вектора q воспользуемся свойствами середины отрезка. Так как М делит ребро СС1 в отношении 1:2, то вектор МС = 2 МС1. Также вектор КМ = 1/2 КМ1. Тогда вектор q = 2 МС1 + 1/2 КМ1 = 2 (МС - МС1) + 1/2 (КМ + КМ1) = 2 (МС - 1/2 МС) + 1/2 (КМ + 1/2 КМ) = 2 1/2 МС + 1/2 3/2 КМ = МС + 3/4 * КМ.

Таким образом, вектор q = МС + 3/4 * КМ.