В основании прямой призмы лежит треугольник ABC со сторонами AB=13, BC=14, AC=15. Боковое ребро AA1=28....

Площадь сечения BMC равна 84.

Для начала найдем координаты точки M на ребре AA1, используя отношение AM : MA1 = 4:3. Так как AA1 = 28, длины отрезков AM и MA1 можно найти через установление пропорции. Пусть AM = 4x и MA1 = 3x, тогда 4x + 3x = 28. Отсюда x = 4, а значит AM = 16 и MA1 = 12.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. По теореме косинусов можно найти угол CAB: [ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma ] [ 15^2 = 13^2 + 14^2 - 2 \cdot 13 \cdot 14 \cdot \cos \gamma ] [ 225 = 169 + 196 - 364 \cos \gamma ] [ 364 \cos \gamma = 140 ] [ \cos \gamma = \frac{140}{364} = \frac{35}{91} \approx 0.3846 ]

Площадь треугольника ABC можно найти по формуле Герона: [ p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21 ] [ S_{ABC} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84 \text{ кв.ед.} ]

Теперь рассмотрим сечение BMC. Так как точка M делит ребро AA1 в отношении 4:3, плоскость сечения параллельна плоскости BCC1. Следовательно, сечение BMC будет подобно треугольнику BCC1 и, соответственно, треугольнику ABC, но с коэффициентом подобия, равным AM/AA1 = 16/28 = 4/7.

Площадь подобных фигур связана с квадратом коэффициента подобия, т.е. площадь сечения BMC будет равна: [ S{BMC} = S{ABC} \left(\frac{4}{7}\right)^2 = 84 \cdot \left(\frac{4}{7}\right)^2 = 84 \cdot \frac{16}{49} = \frac{1344}{49} \approx 27.43 \text{ кв.ед.} ]

Таким образом, площадь сечения BMC примерно равна 27.43 квадратных единиц.

Для нахождения площади сечения BMC, нужно найти площадь треугольника BMC. Для этого можно воспользоваться формулой площади треугольника через две стороны и угол между ними: S = 0.5 AB BC * sin(угол BAC).

Для нахождения этого угла, можно воспользоваться косинусовым законом: cos(BAC) = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 AB AC), откуда sin(BAC) = √(1 - cos^2(BAC)).

После нахождения угла BAC, можно найти площадь треугольника BMC по формуле: S(BMC) = 0.5 BM MC * sin(BAC).

Таким образом, найдя угол BAC и используя его для нахождения площади треугольника BMC, мы сможем найти искомую площадь сечения BMC.