В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с основанием 5 см. Высота призмы 3см. Найти...

Площадь сечения призмы будет равна 12,5 см².

Для нахождения площади сечения призмы плоскостью, проходящей через основание равнобедренного треугольника и противоположную вершину верхнего основания призмы, необходимо сначала найти высоту треугольника. Так как треугольник равнобедренный, то высота будет проведена из вершины треугольника к середине основания, образуя два прямоугольных треугольника. По теореме Пифагора найдем длину высоты треугольника:

$h=\sqrt{5^2-{\left(\frac{5}{2}\right)}^2}=\sqrt{25-\frac{25}{4}}=\sqrt{\frac{75}{4}}=\frac{\sqrt{75}}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}$ см.

Теперь найдем площадь сечения призмы. Площадь сечения призмы равна произведению высоты призмы на длину диагонали боковой грани:

$S=3\cdot 6.5=19.5$ см².

Таким образом, площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через основание равнобедренного треугольника и противоположную вершину верхнего основания призмы, равна 19.5 квадратных сантиметров.

Для решения задачи начнем с анализа геометрии призмы и характеристик ее составляющих.

1. Построение и свойства основания призмы:

   • Основание призмы — равнобедренный треугольник, его основание $AB=5$ см.
   • Стороны $AC$ и $BC$ равны, обозначим их длину через $x$.

2. Выражение высоты равнобедренного треугольника:

   • Опустим высоту $CD$ из вершины $C$ на основание $AB$.
   • $D$ — середина $AB$, следовательно, $AD=DB=2.5$ см.
   • По теореме Пифагора: $x^2=(2.5{)}^2+h^2,$ где $h$ — высота треугольника $ABC$.

3. Высота призмы:

   • Высота призмы $H=3$ см.

4. Диагонали боковых граней:

   • Грань $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ — прямоугольник с диагональю $6.5$ см.
   • По теореме Пифагора для прямоугольника: $(AB{)}^2+H^2=(6.5{)}^2.$ Подставим значения: $25+9=42.25,$ что неверно. Следовательно, диагональ $6.5$ см относится к диагонали другой боковой грани.

5. Поиск длины боковой стороны треугольника $AC$:

   • Рассмотрим боковую грань $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$.
   • Диагональ этой грани: $\sqrt{x^2+H^2}=6.5.$ Подставим $H=3$: $\sqrt{x^2+9}=6.5,$ $x^2+9=42.25,$ $x^2=33.25,$ $x\approx 5.77\text{ см}.$

6. Высота треугольника $h$:

   • Вернемся к треугольнику $ABC$: $(5.77{)}^2=(2.5{)}^2+h^2,$ $33.25=6.25+h^2,$ $h^2=27,$ $h\approx 5.2\text{ см}.$

7. Площадь сечения плоскостью:

   • Сечение проходит через основание треугольника и противоположную вершину верхнего основания, образуя треугольник.
   • Стороны треугольника $AB$, $A{C}^{\prime },A{B}^{\prime }$.
   • Высота сечения равна высоте призмы $H=3$ см.

8. Нахождение площади сечения:

   • Основание $AB=5$ см.
   • Высота $H=3$ см.
   • Площадь треугольника: $S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot H=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 3=7.5{\text{ см}}^2.$

Итак, площадь сечения призмы указанной плоскостью составляет $7.5{\text{ см}}^2$.