В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с основанием 5 см. Высота призмы 3см. Найти...

Площадь сечения призмы будет равна 12,5 см².

Для нахождения площади сечения призмы плоскостью, проходящей через основание равнобедренного треугольника и противоположную вершину верхнего основания призмы, необходимо сначала найти высоту треугольника. Так как треугольник равнобедренный, то высота будет проведена из вершины треугольника к середине основания, образуя два прямоугольных треугольника. По теореме Пифагора найдем длину высоты треугольника:

( h = \sqrt{5^2 - \left(\frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{25 - \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{75}{4}} = \frac{\sqrt{75}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2} ) см.

Теперь найдем площадь сечения призмы. Площадь сечения призмы равна произведению высоты призмы на длину диагонали боковой грани:

( S = 3 \cdot 6.5 = 19.5 ) см².

Таким образом, площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через основание равнобедренного треугольника и противоположную вершину верхнего основания призмы, равна 19.5 квадратных сантиметров.

Для решения задачи начнем с анализа геометрии призмы и характеристик ее составляющих.

1. Построение и свойства основания призмы:

   • Основание призмы — равнобедренный треугольник, его основание ( AB = 5 ) см.
   • Стороны ( AC ) и ( BC ) равны, обозначим их длину через ( x ).

2. Выражение высоты равнобедренного треугольника:

   • Опустим высоту ( CD ) из вершины ( C ) на основание ( AB ).
   • ( D ) — середина ( AB ), следовательно, ( AD = DB = 2.5 ) см.
   • По теореме Пифагора: [ x^2 = (2.5)^2 + h^2, ] где ( h ) — высота треугольника ( ABC ).

3. Высота призмы:

   • Высота призмы ( H = 3 ) см.

4. Диагонали боковых граней:

   • Грань ( ABB'A' ) — прямоугольник с диагональю ( 6.5 ) см.
   • По теореме Пифагора для прямоугольника: [ (AB)^2 + H^2 = (6.5)^2. ] Подставим значения: [ 25 + 9 = 42.25, ] что неверно. Следовательно, диагональ ( 6.5 ) см относится к диагонали другой боковой грани.

5. Поиск длины боковой стороны треугольника ( AC ):

   • Рассмотрим боковую грань ( ACC'A' ).
   • Диагональ этой грани: [ \sqrt{x^2 + H^2} = 6.5. ] Подставим ( H = 3 ): [ \sqrt{x^2 + 9} = 6.5, ] [ x^2 + 9 = 42.25, ] [ x^2 = 33.25, ] [ x \approx 5.77 \text{ см}. ]

6. Высота треугольника ( h ):

   • Вернемся к треугольнику ( ABC ): [ (5.77)^2 = (2.5)^2 + h^2, ] [ 33.25 = 6.25 + h^2, ] [ h^2 = 27, ] [ h \approx 5.2 \text{ см}. ]

7. Площадь сечения плоскостью:

   • Сечение проходит через основание треугольника и противоположную вершину верхнего основания, образуя треугольник.
   • Стороны треугольника ( AB ), ( AC', AB' ).
   • Высота сечения равна высоте призмы ( H = 3 ) см.

8. Нахождение площади сечения:

   • Основание ( AB = 5 ) см.
   • Высота ( H = 3 ) см.
   • Площадь треугольника: [ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot H = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 = 7.5 \text{ см}^2. ]

Итак, площадь сечения призмы указанной плоскостью составляет ( 7.5 \text{ см}^2 ).