В основании прямой призмы лежит равнобедренная трапеция с острым углом 60˚; боковая сторона и меньшая...

Для решения задачи давайте разберём её пошагово и сделаем необходимые вычисления.

1. Построение трапеции:

   • Пусть (ABCD) - основание прямой призмы, где (AB) и (CD) – параллельные стороны трапеции ((AB < CD)), а (AD) и (BC) – боковые стороны.
   • Из условия известно, что (\angle DAB = \angle BCD = 60^\circ), (AD = BC = 4 \text{ см}), и (AB = 4 \text{ см}).

2. Высота трапеции:

   • Пусть ( h ) – высота трапеции, опущенная из вершины (D) на основание (AB).
   • Рассмотрим треугольник (DAB), где (\angle DAB = 60^\circ).
   • В треугольнике (DAB) опустим высоту (DH) на основание (AB). Тогда (AH = AB / 2 = 4 / 2 = 2 \text{ см}).
   • Используя свойства треугольника (DAB), найдём ( DH ): [ \tan(60^\circ) = \frac{DH}{AH} \Rightarrow DH = AH \cdot \tan(60^\circ) = 2 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \text{ см} ]

3. Основание трапеции (CD):

   • Поскольку (AD = 4 \text{ см}) и это боковая сторона трапеции, (CD = AB + 2 \cdot AH = 4 + 2 \cdot 2 = 8 \text{ см}).

4. Высота боковой грани призмы:

   • Пусть высота призмы равна (H).
   • Диагональ призмы наклонена под углом (30^\circ) к плоскости основания.
   • Диагональ призмы (AC) в основании трапеции имеет длину, которую можно найти через теорему Пифагора: [ AC^2 = AD^2 + CD^2 = 4^2 + 8^2 = 16 + 64 = 80 \Rightarrow AC = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \text{ см} ]
   • Используя угол наклона диагонали призмы: [ \sin(30^\circ) = \frac{H}{AC} \Rightarrow H = AC \cdot \sin(30^\circ) = 4\sqrt{5} \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{5} \text{ см} ]

5. Вычисление площади основания трапеции:

   • Площадь трапеции: [ S = \frac{1}{2} (AB + CD) \cdot h = \frac{1}{2} (4 + 8) \cdot 2\sqrt{3} = 6 \cdot 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3} \text{ кв. см} ]

6. Объём призмы:

   • Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту: [ V = S \cdot H = 12\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{5} = 24 \sqrt{15} \text{ куб. см} ]

Таким образом, объём призмы равен (24 \sqrt{15} \text{ куб. см}).

Чертёж:

               D
              / \
             /   \
            /     \
           /       \
          /         \
         /           \
        A-------------B

Для решения данной задачи нам необходимо вычислить высоту призмы, основание которой является равнобедренной трапецией.

Пусть основание равнобедренной трапеции ABCD состоит из сторон AB и CD, которые равны 4 см, а угол BAC равен 60˚. Так как у трапеции угол A равен 60˚, то угол D равен 120˚. Также из условия известно, что диагональ призмы составляет с плоскостью основания угол 30˚.

Из условия задачи видно, что треугольник ABC является равносторонним, так как имеет две равные стороны и угол 60˚. Следовательно, сторона BC также равна 4 см.

Теперь можем построить высоту призмы, которая проходит через вершину A и перпендикулярна основанию. Обозначим эту высоту как h. Так как угол между диагональю и плоскостью основания равен 30˚, то угол между высотой и плоскостью основания также равен 30˚.

Теперь мы можем разделить равнобедренную трапецию на два равнобедренных треугольника и найти высоту одного из них. Из свойств равнобедренного треугольника можем найти, что высота равнобедренного треугольника равна ( h = \frac{BC}{2} \cdot \tan(30˚) = 2\sqrt{3} ) см.

Теперь можем найти объем призмы, умножив площадь основания (площадь равнобедренной трапеции) на высоту: ( V = \frac{1}{2} \cdot (AB + CD) \cdot h \cdot h = 8\sqrt{3} ) см³.

Таким образом, объем призмы равен 8√3 кубических сантиметров.

Для вычисления объема призмы сначала найдем высоту основания призмы, затем вычислим площадь основания и, наконец, объем призмы.

1. Высота основания призмы h: h = 4sin(60°) = 4 * √3 / 2 = 2√3 см

2. Площадь основания S: S = (a + b) h / 2 S = (4 + 4) 2√3 / 2 = 8√3 см²

3. Объем призмы V: V = S d V = 8√3 4 = 32√3 см³

Ответ: объем призмы равен 32√3 кубических сантиметра.