В наклонной треугольной призме, боковое ребро которой равно 6 см, проведено сечение перпендикулярно к боковым ребрам. В сечении образовался равнобедренный треугольник, основание которого равно 8 см, а кут при вершине - 120 градусов. Вычислить площадь боковой поверхности призмы.
Для решения этой задачи нам необходимо найти высоту равнобедренного треугольника, который образовался в сечении наклонной треугольной призмы.
Из условия известно, что основание равнобедренного треугольника равно 8 см, а угол при вершине равен 120 градусов. Поскольку у равнобедренного треугольника углы при основании равны, то каждый из них равен (180-120)/2 = 30 градусов.
Теперь можем найти высоту равнобедренного треугольника, используя формулу sin(30 градусов) = h/6, где h - искомая высота. sin(30 градусов) = 0.5, поэтому h = 6 * 0.5 = 3 см.
Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности призмы, зная, что это равнобедренный треугольник. Площадь боковой поверхности равнобедренного треугольника равна 0.5 периметр основания высота. Периметр основания равен 8 + 8 + 6 = 22 см. Таким образом, площадь боковой поверхности призмы равна 0.5 22 3 = 33 см².
Рассмотрим наклонную треугольную призму, боковое ребро которой равно 6 см. Проведем сечение, перпендикулярное к боковым ребрам призмы, в результате чего образуется равнобедренный треугольник с основанием 8 см и углом при вершине 120 градусов. Необходимо вычислить площадь боковой поверхности призмы.
Определение высоты треугольника в сечении: Рассмотрим равнобедренный треугольник ( \triangle ABC ) с основанием ( AB = 8 ) см и углом при вершине ( C ) равным 120 градусам. Нам нужно найти высоту ( CH ) этого треугольника, опущенную из вершины ( C ) на основание ( AB ).
Поскольку треугольник равнобедренный и угол при вершине ( C ) равен 120 градусам, углы при основании ( A ) и ( B ) равны по 30 градусов каждый (( \angle CAB = \angle CBA = 30^\circ )).
Высота ( CH ) делит основание ( AB ) пополам, то есть ( AH = BH = \frac{8}{2} = 4 ) см.
Вычисление высоты ( CH ) треугольника ( \triangle ABC ): В прямоугольном треугольнике ( \triangle ACH ) угол ( \angle CAH ) равен 30 градусов. Используем тригонометрическую функцию синуса для нахождения высоты: [ \sin(30^\circ) = \frac{CH}{AC} ] Но ( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} ), и ( AC = BC ). Обозначим ( AC = BC = x ). Тогда: [ \sin(30^\circ) = \frac{CH}{x} = \frac{1}{2} \implies CH = \frac{x}{2} ]
Используем также косинус для нахождения ( x ): [ \cos(30^\circ) = \frac{AH}{x} \implies \cos(30^\circ) = \frac{4}{x} \implies \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4}{x} \implies x = \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3} ]
Теперь находим высоту ( CH ): [ CH = \frac{x}{2} = \frac{\frac{8\sqrt{3}}{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{6} = \frac{4\sqrt{3}}{3} ]
Определение площади одного бокового прямоугольника: В боковой поверхности призмы образуются прямоугольники, один из которых высотой равен боковому ребру призмы (6 см), а основанием — стороне треугольника ( \triangle ABC ): [ Площадь одного прямоугольника = основание \times высота = 6 \times 6 = 36 \text{ см}^2 \quad (основание = 6 \text{ см}) ]
Но в данном случае основание прямоугольника будет равно стороне треугольника в сечении, что равно ( \frac{8\sqrt{3}}{3} ): [ Площадь одного прямоугольника = 6 \times \frac{8\sqrt{3}}{3} = 16\sqrt{3} \text{ см}^2 ]
Определение общей площади боковой поверхности призмы: Поскольку треугольная призма имеет три боковые грани, то: [ Общая площадь боковой поверхности = 3 \times Площадь одного прямоугольника = 3 \times 16\sqrt{3} = 48\sqrt{3} \text{ см}^2 ]
Таким образом, площадь боковой поверхности наклонной треугольной призмы равна ( 48\sqrt{3} \text{ см}^2 ).
