.В наклонной призме боковое ребро равно 7 см, перпендикулярное сечение - прямоугольный треугольник с катетами: 4 см и 3 см. найдите объем призмы.
.В наклонной призме боковое ребро равно 7 см, перпендикулярное сечение - прямоугольный треугольник с катетами: 4 см и 3 см. найдите объем призмы.
Чтобы найти объем наклонной призмы, нам нужно воспользоваться формулой для объема призмы:
[ V = S_{\text{осн}} \times h, ]
где ( S_{\text{осн}} ) — площадь основания призмы, а ( h ) — высота призмы.
В данной задаче указано, что перпендикулярное сечение является прямоугольным треугольником с катетами 4 см и 3 см. Поскольку наклонное ребро призмы равно 7 см, это ребро соответствует гипотенузе прямоугольного треугольника, так как наклонное ребро и высота призмы вместе образуют прямоугольный треугольник в перпендикулярном сечении.
Найдем площадь основания призмы (( S_{\text{осн}} )):
Поскольку перпендикулярное сечение — это прямоугольный треугольник с катетами 4 см и 3 см, его площадь может быть найдена по формуле:
[ S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6 \, \text{см}^2. ]
Найдем высоту призмы (( h )):
Высота призмы ( h ) связана с наклонным ребром и катетами прямоугольного треугольника. В данном случае, высота будет равна высоте этого прямоугольного треугольника, которая является стороной, перпендикулярной основанию. Важно отметить, что в прямоугольном треугольнике с катетами 4 см и 3 см гипотенуза равна 5 см (по теореме Пифагора: ( \sqrt{4^2 + 3^2} = 5 )).
Однако, по условию, наклонное ребро составляет 7 см (что больше гипотенузы рассматриваемого треугольника), поэтому высота ( h ) призмы будет равна высоте этого перпендикулярного треугольника. Поскольку боковое ребро равно наклонному ребру, высота призмы будет равна проекции этого ребра на вертикальную ось, которая равна ( \frac{6}{5} ) (отношение катетов 4 и 3, образующих гипотенузу 5), что следует из свойства наклонной призмы.
Вычислим объем призмы (( V )):
[ V = S_{\text{осн}} \times h = 6 \times \frac{6}{5} = 36 \, \text{см}^3. ]
Таким образом, объем наклонной призмы составляет 36 кубических сантиметров.
Для решения данной задачи нам необходимо найти высоту наклонной призмы.
Обозначим высоту призмы как h. Так как перпендикулярное сечение является прямоугольным треугольником, то его гипотенуза будет равна боковому ребру призмы, то есть 7 см. По теореме Пифагора можем составить уравнение: ( h^2 = 4^2 + 3^2 ), откуда получаем, что ( h = 5 ) см.
Теперь можем найти объем призмы, который равен произведению площади основания на высоту: ( V = S \cdot h ), где S - площадь основания призмы. Площадь прямоугольного треугольника равна ( S = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6 ) кв. см.
Таким образом, объем наклонной призмы равен ( V = 6 \cdot 5 = 30 ) куб. см.
Объем наклонной призмы равен V = S h, где S - площадь основания, h - высота призмы. Площадь основания равна S = a b, где a и b - катеты прямоугольного треугольника. Таким образом, S = 4 3 = 12 см². Высота призмы равна h = 7 см. Подставляем значения в формулу: V = 12 7 = 84 см³. Ответ: объем призмы равен 84 кубическим сантиметрам.
