В квадрате ABCD сторона равна 4. Диагонали пересекаются в точке О. Найдите скалярное произведение векторов...

Для нахождения скалярного произведения векторов AB и OD нужно выразить эти векторы через их координаты.

Пусть координаты точек A, B, C, D следующие: A(0, 0) B(4, 0) C(4, 4) D(0, 4)

Тогда вектор AB можно найти как разность координат точек B и A: AB = (4 - 0, 0 - 0) = (4, 0)

Вектор OD можно найти как разность координат точек D и O. Так как точка O - точка пересечения диагоналей, то она делит диагонали пополам. Поэтому координаты точки O равны (2, 2): OD = (0 - 2, 4 - 2) = (-2, 2)

Теперь найдем скалярное произведение векторов AB и OD: AB ∙ OD = (4 -2) + (0 2) = -8

Таким образом, скалярное произведение векторов AB и OD равно -8.

Чтобы найти скалярное произведение векторов (\mathbf{AB}) и (\mathbf{OD}), сначала определим координаты всех значимых точек в квадрате (ABCD).

Пусть вершина (A) находится в начале координат ((0, 0)). Поскольку квадрат имеет сторону длиной 4, координаты остальных вершин будут:

• (B(4, 0))
• (C(4, 4))
• (D(0, 4))

Диагонали квадрата (AC) и (BD) пересекаются в точке (O), которая является центром квадрата и, следовательно, имеет координаты: [ O\left(\frac{0+4}{2}, \frac{0+4}{2}\right) = (2, 2) ]

Теперь определим векторы (\mathbf{AB}) и (\mathbf{OD}):

• Вектор (\mathbf{AB}) направлен от (A) к (B): [ \mathbf{AB} = B - A = (4, 0) - (0, 0) = (4, 0) ]
• Вектор (\mathbf{OD}) направлен от (O) к (D): [ \mathbf{OD} = D - O = (0, 4) - (2, 2) = (-2, 2) ]

Скалярное произведение двух векторов (\mathbf{v} = (v_1, v_2)) и (\mathbf{w} = (w_1, w_2)) определяется как: [ \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = v_1 w_1 + v_2 w_2 ]

Подставим значения векторов (\mathbf{AB}) и (\mathbf{OD}): [ \mathbf{AB} \cdot \mathbf{OD} = (4, 0) \cdot (-2, 2) = 4 \cdot (-2) + 0 \cdot 2 = -8 + 0 = -8 ]

Таким образом, скалярное произведение векторов (\mathbf{AB}) и (\mathbf{OD}) равно (-8).