В кубе abcda1b1c1d1 ребро равно 2а .через середину ребра CD проведена плоскость параллельная плосткости...

Площадь сечения будет равна a^2.

Для нахождения площади сечения необходимо определить форму сечения. Так как плоскость проходит через середину ребра CD, то сечение будет прямоугольником.

Поскольку плоскость параллельна BC1D, то прямоугольник будет параллелограммом. Площадь параллелограмма можно найти как произведение длины одной из его сторон на высоту, проведенную к данной стороне.

Длина стороны параллелограмма равна длине отрезка CD, который равен а. Высота параллелограмма равна высоте куба, то есть 2а.

Таким образом, площадь сечения равна S = а * 2а = 2а^2.

Рассмотрим куб ( ABCDA_1B_1C_1D_1 ), у которого длина ребра равна ( 2a ). Нам нужно найти площадь сечения куба плоскостью, проходящей через середину ребра ( CD ) и параллельной плоскости ( BC_1D ).

1. Найдем координаты ключевых точек куба:

   Пусть вершина ( A ) имеет координаты ( (0, 0, 0) ). Тогда:

   • ( B (2a, 0, 0) )
   • ( C (2a, 2a, 0) )
   • ( D (0, 2a, 0) )
   • ( A_1 (0, 0, 2a) )
   • ( B_1 (2a, 0, 2a) )
   • ( C_1 (2a, 2a, 2a) )
   • ( D_1 (0, 2a, 2a) )

2. Найдем середину ребра ( CD ):

   Координаты середины ребра ( CD ) будут ( \left( \frac{0 + 2a}{2}, \frac{2a + 2a}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = (a, 2a, 0) ).

3. Определим плоскость параллельную ( BC_1D ):

   Плоскость ( BC_1D ) проходит через точки ( B (2a, 0, 0) ), ( C_1 (2a, 2a, 2a) ), и ( D (0, 2a, 0) ). Плоскость, параллельная ей и проходящая через середину ребра ( CD ), также будет параллельна оси Z. Параллельные плоскости имеют одинаковую нормаль. Нормаль плоскости ( BC_1D ) можно определить как векторное произведение векторов ( \overrightarrow{BC_1} ) и ( \overrightarrow{BD} ).

   ( \overrightarrow{BC_1} = (0, 2a, 2a) ) и ( \overrightarrow{BD} = (-2a, 2a, 0) ).

   Векторное произведение: [ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{BC_1} \times \overrightarrow{BD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 0 & 2a & 2a \ -2a & 2a & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2a \cdot 0 - 2a \cdot 2a) - \mathbf{j}(0 \cdot 0 - (-2a \cdot 2a)) + \mathbf{k}(0 \cdot 2a - 2a \cdot (-2a)) ] [ = \mathbf{i}(-4a^2) + \mathbf{j}(4a^2) + \mathbf{k}(4a^2) = (-4a^2, 4a^2, 4a^2). ]

   Упрощенный нормальный вектор: [ \overrightarrow{n} = (-1, 1, 1). ]

   Уравнение плоскости ( BC_1D ) в общем виде: [ -x + y + z = d. ]

   Подставим координаты точки ( B (2a, 0, 0) ): [ -2a + 0 + 0 = d \Rightarrow d = -2a. ]

   Уравнение плоскости ( BC_1D ): [ -x + y + z = -2a. ]

   Плоскость, проходящая через середину ( CD ) ((a, 2a, 0)) и параллельная ( BC_1D ), будет: [ -x + y + z = k. ]

   Подставим координаты середины ребра ( CD ): [ -a + 2a + 0 = k \Rightarrow k = a. ]

   Уравнение искомой плоскости: [ -x + y + z = a. ]

4. Определим точки пересечения этой плоскости с ребрами куба:

   • Пересечение с ребром ( AB ): ( (x, 0, 0) ) [ -x + 0 + 0 = a \Rightarrow x = -a \text{ (точка вне куба, не подходит)} ]

   • Пересечение с ребром ( AD ): ( (0, y, 0) ) [ -0 + y + 0 = a \Rightarrow y = a \Right (0, a, 0). ]

   • Пересечение с ребром ( A_1D_1 ): ( (0, y, 2a) ) [ -0 + y + 2a = a \Rightarrow y = -a \text{ (точка вне куба, не подходит)} ]

   • Пересечение с ребром ( B_1C_1 ): ( (2a, y, 2a) ) [ -2a + y + 2a = a \Rightarrow y = a \Right (2a, a, 2a). ]

   • Пересечение с ребром ( C_1D_1 ): ( (x, 2a, 2a) ) [ -x + 2a + 2a = a \Rightarrow -x + 4a = a \Rightarrow x = 3a \text{ (точка вне куба, не подходит)} ]

   • Пересечение с ребром ( B_1C_1 ): ( (2a, y, z) ) [ -2a + y + z = a \Rightarrow y + z = 3a. ]

5. Искомые точки пересечения, образующие сечение: Пересечение с ( C_1D ): ((x, y, z)) [ -2a + y + z = a \Rightarrow y + z = 3a. ]

   Искомые точки пересечения образуют четырехугольник с координатами: ( (0, a, 0), (2a, 2a, 0) ).

   Площадь сечения ( S = a^2.)

   Таким образом, площадь сечения куба плоскостью, проходящей через середину ребра ( CD ) и параллельной плоскости ( BC_1D ), равна ( 2a^2 ).