В кубе АBCDA1B1C1D1 найдите синус угла между прямой A1D1 и плоскостью ACB1

Синус угла между прямой A1D1 и плоскостью ACB1 равен 1/√3.

Для нахождения синуса угла между прямой A1D1 и плоскостью ACB1 в кубе, нужно сначала определить векторы, соответствующие этим линиям и плоскостям.

Прямая A1D1 проходит через точки A1 и D1, таким образом вектор, задающий эту прямую, можно найти как разность координат точек D1 и A1: (\overrightarrow{A1D1} = \overrightarrow{D1} - \overrightarrow{A1})

Плоскость ACB1 проходит через точки A, C и B1. Для нахождения нормали к этой плоскости можно взять векторное произведение векторов, заданных точками A, C и B1: (\overrightarrow{n} = (\overrightarrow{A} - \overrightarrow{C}) \times (\overrightarrow{B1} - \overrightarrow{C}))

Затем, чтобы найти синус угла между векторами (\overrightarrow{A1D1}) и (\overrightarrow{n}), можно воспользоваться формулой для синуса угла между векторами: (\sin(\theta) = \frac{|\overrightarrow{A1D1} \times \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{A1D1}| |\overrightarrow{n}|})

где (\theta) - угол между векторами (\overrightarrow{A1D1}) и (\overrightarrow{n}).

После вычисления модуля векторного произведения и длин векторов можно найти синус угла между прямой A1D1 и плоскостью ACB1.

Чтобы найти синус угла между прямой ( A_1D_1 ) и плоскостью ( ACB_1 ) в кубе ( ABCDA_1B_1C_1D_1 ), необходимо следовать ряду шагов.

1. Понимание задачи и обозначения:

   • Куб имеет вершины ( A, B, C, D ) на нижнем основании и ( A_1, B_1, C_1, D_1 ) на верхнем основании.
   • Прямая ( A_1D_1 ) соединяет две противоположные вершины верхнего основания.
   • Плоскость ( ACB_1 ) проходит через вершины ( A ), ( C ) на нижнем основании и ( B_1 ) на верхнем основании.

2. Выбор системы координат:

   • Удобно выбрать систему координат с началом в точке ( A ).
   • Тогда координаты вершин будут:
     • ( A(0, 0, 0) )
     • ( B(a, 0, 0) )
     • ( C(a, a, 0) )
     • ( D(0, a, 0) )
     • ( A_1(0, 0, a) )
     • ( B_1(a, 0, a) )
     • ( C_1(a, a, a) )
     • ( D_1(0, a, a) )

3. Векторное представление прямой ( A_1D_1 ):

   • Вектор ( \overrightarrow{A_1D_1} ) имеет координаты ( (0, a, a) ).

4. Нахождение уравнения плоскости ( ACB_1 ):

   • Векторы, лежащие в плоскости ( ACB_1 ):
     • ( \overrightarrow{AC} = (a, a, 0) )
     • ( \overrightarrow{AB_1} = (a, 0, a) )
   • Векторное произведение ( \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AB_1} ) даст нормаль к плоскости: [ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AB_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ a & a & 0 \ a & 0 & a \end{vmatrix} = (a^2, -a^2, -a^2) ]
   • Нормаль к плоскости ( ACB_1 ) имеет координаты ( (a^2, -a^2, -a^2) ).

5. Нахождение косинуса угла между вектором и плоскостью:

   • Косинус угла между вектором ( \overrightarrow{A_1D_1} ) и нормалью к плоскости ( \overrightarrow{n} ) находим по формуле косинуса угла между векторами: [ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{A_1D_1} \cdot \overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{A_1D_1}| \cdot |\overrightarrow{n}|} ]
   • Скалярное произведение ( \overrightarrow{A_1D_1} \cdot \overrightarrow{n} ): [ (0, a, a) \cdot (a^2, -a^2, -a^2) = 0 \cdot a^2 + a \cdot (-a^2) + a \cdot (-a^2) = -a^3 - a^3 = -2a^3 ]
   • Модуль ( \overrightarrow{A_1D_1} ): [ |\overrightarrow{A_1D_1}| = \sqrt{0^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} ]
   • Модуль ( \overrightarrow{n} ): [ |\overrightarrow{n}| = \sqrt{a^4 + (-a^2)^2 + (-a^2)^2} = \sqrt{a^4 + a^4 + a^4} = \sqrt{3a^4} = a^2\sqrt{3} ]
   • Косинус угла: [ \cos \theta = \frac{-2a^3}{a\sqrt{2} \cdot a^2\sqrt{3}} = \frac{-2a^3}{a^3\sqrt{6}} = \frac{-2}{\sqrt{6}} = -\frac{\sqrt{6}}{3} ]

6. Нахождение синуса угла:

   • Используем тригонометрическую идентичность ( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 ): [ \sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \left(-\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{6}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} ]
   • Следовательно: [ \sin \theta = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} ]

Таким образом, синус угла между прямой ( A_1D_1 ) и плоскостью ( ACB_1 ) равен ( \frac{\sqrt{3}}{3} ).