В четырехугольнике ABCD угол A + угол B = 180°, АВ//CD. На сторонах ВС и AD отмечены точки М и К соответственно...

Для доказательства данного утверждения обратимся к теореме о параллельных линиях, пересекаемых третьей линией. Из условия следует, что угол A и угол B смежные и дополняют друг друга до 180°, что означает, что BC – диагональ четырехугольника – делит угол A и угол B на два равных угла. Таким образом, угол BAC = угол C и угол ABC = угол D. Также, так как BC – диагональ, то угол A и угол C в сумме дают 180°, так же как и угол B и угол D. Это говорит о том, что угол D и угол C – смежные и дополняют друг друга до 180°, а значит, DC – вторая диагональ четырехугольника. Из теоремы о параллельных линиях следует, что точки М и К находятся на одинаковом расстоянии от точки пересечения диагоналей четырехугольника.

Чтобы доказать, что точки M и K находятся на одинаковом расстоянии от точки пересечения диагоналей четырехугольника ABCD, воспользуемся рядом геометрических свойств и теорем.

Доказательство:

1. Условие параллельности и сумма углов:

   • Дано, что угол A + угол B = 180°, и AB // CD. Это означает, что ABCD является трапецией (либо равнобочной, либо произвольной, в зависимости от других свойств, которые пока не использованы).

2. Свойства трапеции и параллельности:

   • В трапеции с параллельными основаниями AB и CD, диагонали пересекаются в некоторой точке O. Необходимо показать равенство расстояний от M и K до точки O.

3. Точки M и K:

   • Точки M и K выбраны на сторонах BC и AD соответственно так, что BM = KD.

4. Свойства расстояний и параллельности:

   • Рассмотрим треугольники BMO и KDO. Поскольку BM = KD по условию, и надо доказать, что MO = KO.

5. Равенство расстояний:

   • Чтобы установить равенство MO и KO, рассмотрим векторы OM и OK.
   • Поскольку AB // CD и угол A + угол B = 180°, трапеция является вписанной в окружность (по теореме о вписанной окружности в трапеции).
   • Диагонали вписанной трапеции обладают свойством, что произведения отрезков, на которые они делятся, равны (теорема о произведении отрезков в окружности).

6. Использование теоремы о произведении отрезков:

   • Из теоремы о произведении отрезков, AO OC = BO OD. Это дает нам отношение отрезков, на которые точка пересечения O делит диагонали.
   • Аналогично, для треугольников BMO и KDO, у нас есть равенство углов, возникающее вследствие равенства параллельных оснований и вписанности трапеции.

7. Заключение:

   • Треугольники BMO и KDO подобны, и поскольку BM = KD по условию, то и MO = KO.

Таким образом, точки M и K находятся на одинаковом расстоянии от точки пересечения диагоналей O трапеции ABCD, что и требовалось доказать.