Уравнение окружности x^2+y^2=32. Уравнение прямой x+y+c=0. Найди значения коэффициента c, с которым...

c = -8; 0; 8

Чтобы найти значения коэффициента ( c ), при которых прямая ( x + y + c = 0 ) касается окружности ( x^2 + y^2 = 32 ), нам нужно воспользоваться условием касания.

1. Запишем уравнение окружности: [ x^2 + y^2 = 32 ] Это окружность с центром в точке ( (0, 0) ) и радиусом ( r = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} ).

2. Запишем уравнение прямой: [ y = -x - c ] Подставим это выражение для ( y ) в уравнение окружности: [ x^2 + (-x - c)^2 = 32 ] Раскроем скобки: [ x^2 + (x^2 + 2cx + c^2) = 32 ] Приведем подобные: [ 2x^2 + 2cx + c^2 - 32 = 0 ] Упростим это уравнение: [ x^2 + cx + \frac{c^2 - 32}{2} = 0 ]

3. Условие касания: Чтобы прямая касалась окружности, дискриминант этого квадратного уравнения должен быть равен нулю: [ D = b^2 - 4ac = c^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{c^2 - 32}{2} = 0 ]

   Упростим дискриминант: [ D = c^2 - 2(c^2 - 32) = c^2 - 2c^2 + 64 = -c^2 + 64 ] Установим дискриминант равным нулю: [ -c^2 + 64 = 0 ] Это дает: [ c^2 = 64 ] Следовательно, ( c = 8 ) или ( c = -8 ).

Таким образом, значения коэффициента ( c ), при которых прямая касается окружности, равны:

[ c = -8;8 ]

Чтобы найти значения коэффициента ( c ), при которых прямая ( x + y + c = 0 ) касается окружности ( x^2 + y^2 = 32 ), нужно выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Условие касания

Прямая и окружность имеют одну общую точку (касаются), если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности.

Окружность задана уравнением ( x^2 + y^2 = 32 ). Её центр находится в точке ( (0, 0) ), а радиус равен: [ r = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}. ]

Прямая задана уравнением ( x + y + c = 0 ), где ( c ) — коэффициент, который нужно определить.

Расстояние от точки ( (0, 0) ) до прямой ( x + y + c = 0 ) рассчитывается по формуле: [ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}, ] где ( A = 1 ), ( B = 1 ), ( C = c ), ( (x_0, y_0) = (0, 0) ).

Подставляем в формулу: [ d = \frac{|c|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|c|}{\sqrt{2}}. ]

Для касания расстояние ( d ) должно быть равно радиусу окружности ( r = 4\sqrt{2} ). Таким образом: [ \frac{|c|}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}. ]

Шаг 2: Решение уравнения

Умножим обе части уравнения на ( \sqrt{2} ), чтобы избавиться от знаменателя: [ |c| = 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}. ]

Поскольку ( \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 ), то: [ |c| = 4 \cdot 2 = 8. ]

Решаем уравнение с модулем: [ c = 8 \quad \text{или} \quad c = -8. ]

Шаг 3: Ответ

Коэффициент ( c ), при котором прямая касается окружности, принимает значения: [ c = -8;8. ]