Упростите выражение вектора PQ+EF+AE+QA

Для упрощения данного выражения векторов ( \vec{PQ} + \vec{EF} + \vec{AE} + \vec{QA} ), мы можем воспользоваться правилом сложения векторов и свойством коммутативности (переместительного закона) сложения векторов.

Сначала рассмотрим векторы ( \vec{AE} ) и ( \vec{QA} ). Вектор ( \vec{QA} ) является противоположным вектору ( \vec{AQ} ), то есть ( \vec{QA} = -\vec{AQ} ). Если мы добавим ( \vec{AE} ) к ( \vec{QA} ), то фактически мы имеем:

[ \vec{AE} + \vec{QA} = \vec{AE} - \vec{AQ} ]

Это выражение представляет собой перемещение от точки A к E минус перемещение от точки A к Q, что можно интерпретировать как перемещение от Q к E через A. Но этот путь не оптимальный для упрощения. Однако, если рассмотреть другие свойства или дополнительные данные о точках, можно попытаться найти более простую формулу.

Для примера, предположим, что точка E лежит на отрезке QA (или на продолжении этой линии). Тогда ( \vec{AE} + \vec{QA} ) упрощается до ( \vec{QE} ). Но без дополнительной информации о расположении точек это предположение может быть неверным.

Теперь обратим внимание на векторы ( \vec{PQ} ) и ( \vec{EF} ). Без дополнительной информации о взаимном расположении точек P, Q, E, и F, мы не можем дополнительно упростить сумму ( \vec{PQ} + \vec{EF} ).

Таким образом, учитывая только предоставленную информацию, наилучшее упрощение выражения ( \vec{PQ} + \vec{EF} + \vec{AE} + \vec{QA} ) будет:

[ \vec{PQ} + \vec{EF} + (\vec{AE} - \vec{AQ}) ]

или, если предположить, что точка E находится на линии QA, это упрощается до:

[ \vec{PQ} + \vec{EF} + \vec{QE} ]

Однако без конкретных деталей о взаимном расположении точек точное упрощение может варьироваться.

Для упрощения данного выражения необходимо сначала выразить каждый вектор через координаты его начальной и конечной точек.

Пусть координаты точек P, Q, E, A следующие: P(x1, y1), Q(x2, y2), E(x3, y3), A(x4, y4)

Тогда векторы можно записать следующим образом: PQ = (x2 - x1, y2 - y1) EF = (x3 - x2, y3 - y2) AE = (x4 - x3, y4 - y3) QA = (x1 - x4, y1 - y4)

Теперь сложим все векторы: PQ + EF + AE + QA = (x2 - x1, y2 - y1) + (x3 - x2, y3 - y2) + (x4 - x3, y4 - y3) + (x1 - x4, y1 - y4)

После суммирования координат получаем: (x2 - x1 + x3 - x2 + x4 - x3 + x1 - x4, y2 - y1 + y3 - y2 + y4 - y3 + y1 - y4)

Упрощая данное выражение, получаем: (0, 0)

Таким образом, упрощенное выражение вектора PQ + EF + AE + QA равно нулевому вектору.