Угол при вершине противолежащей основанию равнобедренного треугольника,равен 30.Найдите боковую сторону...

Пусть боковая сторона равнобедренного треугольника равна х, а основание - у. Так как угол при вершине противолежащей основанию равен 30 градусов, то треугольник можно разделить на два прямоугольных треугольника, в одном из которых угол при вершине равен 30 градусов, а катеты равны у/2 и х.

Площадь равнобедренного треугольника равна 784, поэтому:

(у * х)/2 = 784

Также, из теоремы синусов мы знаем, что:

x/(sin 30) = (у/2)/sin(75)

x = у(sin 30)/sin 75

Подставим это значение x в уравнение площади:

(у * у(sin 30)/sin 75)/2 = 784

y^2 * (sin 30/sin 75) = 1568

y^2 = 1568 * (sin 75/sin 30)

y = sqrt(1568 * (sin 75/sin 30))

После подстановки соответствующих значений можно рассчитать боковую сторону треугольника.

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

У нас есть равнобедренный треугольник, у которого угол при вершине, противоположной основанию, равен (30^\circ). Пусть основания треугольника равны (a), а боковые стороны равны (b).

1. Найдем высоту треугольника

Рассмотрим высоту, проведенную из вершины с углом (30^\circ) на основание. Эта высота делит треугольник на два прямоугольных треугольника, и каждый из этих треугольников будет иметь угол в (15^\circ) у основания (поскольку высота делит угол (30^\circ) пополам).

Используя свойства прямоугольного треугольника, можем выразить высоту (h) через боковую сторону (b) и угол (15^\circ):

[ h = b \cdot \sin(15^\circ) ]

2. Найдем площадь треугольника

Площадь треугольника (S) можно выразить через основание (a) и высоту (h):

[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h ]

По условию, площадь равна 784, поэтому:

[ 784 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(15^\circ) ]

3. Выразим основание через боковую сторону

Теперь найдем (\sin(15^\circ)) с помощью формулы для синуса половинного угла:

[ \sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) - \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) ]

Подставим значения:

[ \sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} ]

4. Подставим в уравнение площади

Подставим полученное значение (\sin(15^\circ)) в уравнение площади:

[ 784 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} ]

Упростим и выразим (a):

[ 1568 = a \cdot b \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} ]

[ a \cdot b = \frac{1568 \cdot 4}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} ]

5. Из уравнений определим длину боковой стороны

Мы имеем два уравнения и можем выразить (b) в терминах известных величин. Однако, для упрощения, воспользуемся тем, что высота (h) делит основание пополам, и используем известные тригонометрические соотношения в треугольнике.

Решив полученные уравнения, мы получим длину боковой стороны (b). Так как расчеты могут быть сложными без вычислительных средств, рекомендую использовать калькулятор для нахождения точного значения.

В результате, после более точных вычислений, боковая сторона окажется равной приблизительно 56 единицам.

Площадь равнобедренного треугольника можно найти по формуле: S = (1/2) a b sin(C), где a и b - боковые стороны, а C - угол при вершине противолежащей основанию. Подставляем известные значения: 784 = (1/2) a a sin(30). Решив уравнение, получаем, что боковая сторона треугольника равна 56.