Угол при вершине противолежащей основанию равнобедренного треугольника равен 150 боковая сторона треугольника...

В равнобедренном треугольнике ( ABC ) с основанием ( AB ) и равными боковыми сторонами ( AC ) и ( BC ), угол при вершине ( C ) противолежащий основанию ( AB ) равен ( 150^\circ ). Боковая сторона ( AC = BC = 20 ).

Нам нужно найти площадь этого треугольника.

1. Определение углов при основании: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Поскольку угол при вершине ( C ) равен ( 150^\circ ), то оставшиеся ( 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ ) делятся поровну на два угла при основании. Значит, каждый из углов ( \angle A ) и ( \angle B ) равен: [ \angle A = \angle B = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ ]

2. Использование теоремы синусов: Для нахождения длины основания ( AB ), используем теорему синусов: [ \frac{AB}{\sin(150^\circ)} = \frac{AC}{\sin(15^\circ)} ] Зная, что ( \sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} ), получаем: [ \frac{AB}{\frac{1}{2}} = \frac{20}{\sin(15^\circ)} ] Следовательно, [ AB = 20 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sin(15^\circ)} ] Поскольку ( \sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) - \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} ), то: [ AB = 20 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = 40 \cdot \frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} ]

3. Нахождение площади треугольника: Площадь треугольника можно найти, используя формулу: [ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\theta) ] В нашем случае стороны ( a ) и ( b ) равны ( 20 ), а угол между ними ( \theta = 150^\circ ): [ S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 20 \cdot \sin(150^\circ) ] [ \sin(150^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} ] Подставляем значения: [ S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 20 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot 400 \cdot \frac{1}{2} = 100 ]

Таким образом, площадь равнобедренного треугольника с боковыми сторонами ( 20 ) и углом при вершине ( 150^\circ ) равна ( 100 ) квадратных единиц.

Для решения данной задачи нам необходимо вычислить высоту равнобедренного треугольника, проведенную из вершины угла, противолежащего основанию и равного 150 градусов.

Поскольку угол при вершине противолежащей основанию равнобедренного треугольника равен 150 градусов, то другие два угла равны по 15 градусов каждый. Так как треугольник равнобедренный, то высота, проведенная из вершины, также является медианой и биссектрисой данного треугольника.

Таким образом, мы можем разделить равнобедренный треугольник на два равнобедренных треугольника, каждый из которых имеет угол при вершине в 75 градусов и основание, равное 10 (половина основания исходного треугольника).

Далее, используя тригонометрические соотношения, мы можем найти высоту равнобедренного треугольника, которая составляет 10 tg(75) = 10 tg(45 + 30) = 10 (tg(45) + tg(30)) ≈ 10 (1 + √3) ≈ 10 + 10√3.

Теперь мы можем найти площадь равнобедренного треугольника, используя формулу для площади треугольника: S = 0.5 a h, где a - основание треугольника, а h - высота, проведенная из вершины.

S = 0.5 20 (10 + 10√3) = 100 + 100√3.

Таким образом, площадь данного равнобедренного треугольника равна 100 + 100√3 квадратных единиц.

Площадь равнобедренного треугольника равна 200.