Угол при вершине осевого сечения конуса с высотой 1 м равен 120°. Чему равна площадь сечения конуса,...

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса. Осевое сечение конуса — это треугольник, который включает в себя высоту конуса и две его образующие.

1. Исходные данные:

   • Высота конуса ( h = 1 ) м.
   • Угол при вершине осевого сечения конуса ( \theta = 120^\circ ).

2. Найдем длину образующей конуса. В осевом сечении конуса (треугольнике) высота ( h ) перпендикулярна основанию, делит угол при вершине пополам и образует два прямоугольных треугольника. Каждый из этих треугольников имеет угол при основании ( 60^\circ ) (поскольку ( 120^\circ / 2 = 60^\circ )) и противолежащий угол ( 30^\circ ).

   Для прямоугольных треугольников с углами ( 30^\circ ) и ( 60^\circ ) известно, что отношение катетов равно ( \sqrt{3} ). Поэтому: [ \tan(60^\circ) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{h}{r} = \sqrt{3} ] Отсюда: [ r = \frac{h}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \text{ м} ] Где ( r ) — радиус основания конуса.

   Теперь найдем длину образующей ( l ). В прямоугольном треугольнике с катетами ( h ) и ( r ): [ l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{1^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \text{ м} ]

3. Найдем площадь сечения конуса, проведенного через две образующие, угол между которыми равен ( 60^\circ ). Образующие конуса — это стороны равнобедренного треугольника, вершина которого — вершина конуса, а угол между образующими равен ( 60^\circ ). Такой треугольник можно рассматривать как один из треугольников в правильном шестиугольнике.

   Площадь такого треугольника можно найти по формуле для площади треугольника через две стороны и угол между ними: [ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma) ] Где ( a ) и ( b ) — длины образующих (в нашем случае обе равны ( l )), а ( \gamma = 60^\circ ).

   Подставим значения: [ S = \frac{1}{2} \cdot l \cdot l \cdot \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} ] Упростим выражение: [ S = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 3}{9} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{3} \text{ м}^2 ]

Таким образом, площадь сечения конуса, проведенного через две образующие, угол между которыми равен ( 60^\circ ), составляет ( \frac{\sqrt{3}}{3} ) квадратных метров.

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойство конуса, что любое сечение, параллельное основанию, подобно основанию.

Итак, у нас есть конус с углом при вершине осевого сечения равным 120° и высотой 1 м. Сначала найдем радиус конуса. Угол между образующей и основанием конуса равен 60° (так как угол при вершине сечения равен 120°, а угол между образующей и основанием равен половине угла при вершине).

Затем найдем высоту сечения, проведенного через две образующие: h = 1 м (высота конуса).

Теперь можем найти радиус сечения, проведенного через две образующие, используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике: r = h tan(30°) = 1 tan(30°) ≈ 0.577 м.

Наконец, найдем площадь сечения конуса, проведенного через две образующие, по формуле площади круга: S = π r^2 = π (0.577)^2 ≈ 1.047 м^2.

Итак, площадь сечения конуса, проведенного через две образующие, угол между которыми равен 60°, равна примерно 1.047 м^2.