Угол при основании осевого сечения конуса равен 60 градусов, радиус конуса равен 3 см. Найти площадь...

Для решения задачи сначала определим ключевые параметры конуса, используя заданные данные.

1. Угол при основании осевого сечения конуса равен 60 градусов. Это угол между образующими конуса в осевом сечении.

2. Радиус основания конуса ( r ) равен 3 см.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, в котором угол между двумя равными сторонами (образующими) равен 60 градусов. Таким образом, каждая из этих сторон является образующей конуса ( l ), и основание треугольника равно диаметру основания конуса (2r).

Шаг 1: Найдем длину образующей ( l )

В осевом сечении имеем равнобедренный треугольник с углом 60 градусов между образующими, это значит, что каждая из образующих ( l ) составляет стороны треугольника, между которыми угол в 60 градусов.

Используя тригонометрические функции, можем выразить образующую через радиус и угол при основании. В треугольнике, где угол при основании 60 градусов, основание треугольника равно диаметру основания конуса ( 2r ). Половина основания равна ( r ).

Поскольку треугольник является равнобедренным и угол между образующими 60 градусов, то треугольник можно разделить на два прямоугольных треугольника с углом 30 градусов у вершины.

В прямоугольном треугольнике ( \cos 30° ) можно выразить через отношение половины основания к образующей: [ \cos 30° = \frac{r}{l} ]

Значение ( \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} ): [ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{l} ]

Решим это уравнение для ( l ): [ l = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \text{ см} ]

Шаг 2: Найдем площадь боковой поверхности конуса

Площадь боковой поверхности конуса выражается формулой: [ S_{\text{бок}} = \pi r l ]

Подставим известные значения радиуса ( r = 3 \text{ см} ) и длины образующей ( l = 2\sqrt{3} \text{ см} ): [ S_{\text{бок}} = \pi \cdot 3 \cdot 2\sqrt{3} = 6\pi\sqrt{3} \text{ см}^2 ]

Ответ

Площадь боковой поверхности конуса равна ( 6\pi\sqrt{3} \text{ см}^2 ).

Для начала найдем высоту конуса, используя теорему Пифагора. Пусть h - высота конуса, тогда по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном радиусом, высотой и образующей конуса, имеем: $$(r)^2 + (h)^2 = (l)^2,$$ где r - радиус конуса, h - высота конуса, l - образующая конуса.

Подставляя известные значения, получим: $$(3)^2 + (h)^2 = (l)^2,$$ $$9 + (h)^2 = (l)^2.$$ Так как угол при основании осевого сечения конуса равен 60 градусов, то образующая конуса равна удвоенному радиусу, т.е. l = 2r = 6 см. Теперь найдем высоту h: $$9 + (h)^2 = (6)^2,$$ $$9 + (h)^2 = 36,$$ $$(h)^2 = 27,$$ $$h = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \approx 5.196 см.$$

Теперь можем найти площадь боковой поверхности конуса, используя формулу: $$S = \pi \cdot r \cdot l,$$ где S - площадь боковой поверхности конуса, r - радиус основания конуса, l - образующая конуса.

Подставляя известные значения, получим: $$S = \pi \cdot 3 \cdot 6 = 18\pi \approx 56.548 см^2.$$

Итак, площадь боковой поверхности конуса равна примерно 56.548 квадратных сантиметров.