Угол между бисеектрисой и высотой , проведенными из вершины наибольшего угла прямоугольного треугольника...

Рассмотрим прямоугольный треугольник ( ABC ), где угол ( C ) — прямой. Пусть (\angle A) будет наибольшим углом, и именно из этой вершины проведены биссектриса и высота. Поскольку угол ( C ) прямой, очевидно, что (\angle A > \angle B).

Обозначим угол (\angle ACB = 90^\circ), (\angle BAC = \alpha), и (\angle ABC = \beta). Тогда (\alpha > \beta) и (\alpha + \beta = 90^\circ).

Теперь рассмотрим биссектрису и высоту из точки ( A ). Биссектриса делит угол (\angle A) пополам, так что угол между биссектрисой и одной из сторон угла (\angle A) равен (\frac{\alpha}{2}). Высота из вершины ( A ) падает на сторону ( BC ), перпендикулярную ( AC ), и, следовательно, образует угол ( 90^\circ - \alpha ) с ( AC ).

По условию задачи, угол между биссектрисой и высотой равен ( 22^\circ ). Это значит, что:

[ \left| \frac{\alpha}{2} - (90^\circ - \alpha) \right| = 22^\circ ]

Рассмотрим оба возможных случая:

1. (\frac{\alpha}{2} - (90^\circ - \alpha) = 22^\circ)

   [ \frac{\alpha}{2} - 90^\circ + \alpha = 22^\circ ]

   [ \frac{3\alpha}{2} = 112^\circ ]

   [ 3\alpha = 224^\circ ]

   [ \alpha = \frac{224^\circ}{3} \approx 74.67^\circ ]

2. ((90^\circ - \alpha) - \frac{\alpha}{2} = 22^\circ)

   [ 90^\circ - \alpha - \frac{\alpha}{2} = 22^\circ ]

   [ 90^\circ - \frac{3\alpha}{2} = 22^\circ ]

   [ \frac{3\alpha}{2} = 68^\circ ]

   [ 3\alpha = 136^\circ ]

   [ \alpha = \frac{136^\circ}{3} \approx 45.33^\circ ]

Поскольку (\alpha > \beta) и (\alpha + \beta = 90^\circ), то только второй случай имеет смысл, так как он соответствует условию (\alpha > \beta).

Таким образом, острый угол (\alpha) в данном треугольнике приблизительно равен ( 45.33^\circ).

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойства прямоугольного треугольника.

Пусть АВС - прямоугольный треугольник с прямым углом в вершине С. Пусть BD - биссектриса угла АВС, а CH - высота, проведенная из вершины С.

Так как угол между биссектрисой и высотой равен 22 градусам, то угол BDC = 22 градуса.

Так как треугольник АВС прямоугольный, то угол BAC = 45 градусов (так как это половина прямого угла).

Теперь рассмотрим треугольник BDC. Угол BDC = 22 градуса, угол BCD = 45 градусов (так как CD - высота), следовательно, угол B = 180 - 22 - 45 = 113 градусов.

Таким образом, острый угол треугольника равен 113 градусов.