Углы DEF и MEF - смежные, луч EK - биссектриса угла DEF, угол KEF в 4 раза меньше уг- ла MEF. Найдите...

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться свойствами смежных углов, биссектрисы и отношения углов.

Из условия задачи мы знаем, что углы DEF и MEF смежные, а также что луч EK является биссектрисой угла DEF. Это значит, что угол KEF равен половине угла DEF.

Также известно, что угол KEF в 4 раза меньше угла MEF. Пусть угол KEF равен x градусов. Тогда угол MEF будет равен 4x градусов.

Так как угол KEF равен половине угла DEF, то угол DEF будет равен 2x градусов.

Теперь мы можем составить уравнение: 2x + 4x = 180 (сумма углов в треугольнике равна 180 градусов).

Решая уравнение, получаем: 6x = 180, x = 30.

Таким образом, угол DEF равен 230 = 60 градусов, а угол MEF равен 430 = 120 градусов.

Давайте решим задачу поэтапно.

1. Определение смежных углов: Углы DEF и MEF являются смежными. Это значит, что сумма этих углов составляет 180 градусов. Обозначим угол DEF как ( \alpha ) и угол MEF как ( \beta ). Тогда:

   [ \alpha + \beta = 180^\circ ]

2. Биссектриса угла DEF: Луч EK является биссектрисой угла DEF, следовательно, он делит угол DEF на два равных угла. То есть угол DEK равен углу KEF, и каждый из них равен ( \frac{\alpha}{2} ).

3. Соотношение углов KEF и MEF: По условию задачи угол KEF в 4 раза меньше угла MEF. То есть:

   [ \frac{\alpha}{2} = \frac{\beta}{4} ]

   Отсюда можем выразить:

   [ \alpha = \frac{\beta}{2} ]

4. Системы уравнений: Теперь у нас есть система из двух уравнений:

   [ \begin{cases} \alpha + \beta = 180 \ \alpha = \frac{\beta}{2} \end{cases} ]

   Подставим второе уравнение во первое:

   [ \frac{\beta}{2} + \beta = 180 ]

   [ \frac{3\beta}{2} = 180 ]

   Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

   [ 3\beta = 360 ]

   Разделим обе части на 3:

   [ \beta = 120 ]

   Теперь найдем ( \alpha ):

   [ \alpha = \frac{\beta}{2} = \frac{120}{2} = 60 ]

5. Ответ: Углы DEF и MEF равны 60 градусов и 120 градусов соответственно. Таким образом, угол DEF ((\alpha)) равен 60°, а угол MEF ((\beta)) равен 120°.