Треугольник ABC равнобедренный с основанием AC. На сторонах AB и BC отмечены точки P и K так, что BP=BK....

Рассмотрим равнобедренный треугольник ( \triangle ABC ) с основанием ( AC ), где ( AB = BC ). На сторонах ( AB ) и ( BC ) выбраны точки ( P ) и ( K ) соответственно, такие что ( BP = BK ). Необходимо доказать, что треугольник ( \triangle AOC ) равнобедренный, где ( O ) — точка пересечения отрезков ( AK ) и ( CP ).

Шаги доказательства:

1. Рассмотрим треугольники ( \triangle BPK ) и ( \triangle BKC ):

   • По условию ( BP = BK ).
   • ( \angle CBK = \angle ABP ) так как ( AB = BC ) и ( \triangle ABC ) равнобедренный, следовательно эти углы равны как углы при основании равнобедренного треугольника.
   • ( BK = BK ) (общая сторона).

   По двум сторонам и углу между ними (признак равенства треугольников SAS), треугольники ( \triangle BPK ) и ( \triangle BKC ) равны.

2. Вывод из равенства треугольников:

   • Из равенства ( \triangle BPK \equiv \triangle BKC ) следует, что ( PK = KC ).

3. Анализ треугольников ( \triangle APK ) и ( \triangle CKP ):

   • ( AP = CP ) (так как ( PK = KC ) и ( AP + PK = AK ), ( CP + PK = CK )).
   • ( \angle APK = \angle CPK ) так как они вертикальные.

   Следовательно, треугольники ( \triangle APK ) и ( \triangle CKP ) равны по признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

4. Рассмотрение треугольника ( \triangle AOC ):

   • Из равенства треугольников ( \triangle APK \equiv \triangle CKP ) следует, что ( \angle PAO = \angle PCO ) и ( AO = CO ).

Таким образом, треугольник ( \triangle AOC ) является равнобедренным, так как его стороны ( AO ) и ( CO ) равны, что и требовалось доказать.

Для доказательства равнобедренности треугольника AOC необходимо и достаточно показать, что углы AOC и OCA равны друг другу.

Поскольку треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то у него углы BAC и BCA равны, а стороны AB и BC равны. Так как точки P и K являются серединами сторон AB и BC, то BP=BK, что означает, что треугольник BPK также равнобедренный.

Из равенства BP=BK следует, что углы BPK и BKP равны между собой. Так как угол BAC равен углу BCA, то угол BAC также равен углу BCA.

Из равенства углов BAC и BCA следует, что треугольники BPK и BAC подобны, поэтому углы KPB и BAC равны.

Таким образом, угол AOC равен углу KOP, так как они являются вертикально противоположными углами.

Из равенства углов KPB и BAC следует, что углы KOP и AOC равны. Следовательно, треугольник AOC также является равнобедренным.

В треугольнике AOC углы OAC и OCA равны, так как треугольник ABC равнобедренный и углы A и C равны. Таким образом, треугольник AOC равнобедренный.